MGM-двойственность и ко-контра соответствие - 5 Продолжение серии постингов
http://posic.livejournal.com/1099805.htmlКонструкция в духе параграфа 4.1 и предложения 6.10 из работы Dwyer-Greenlees, использующая тензорное произведение для построения комплексов модулей кручения и Hom для построения комплексов контрамодулей, представляется более подходящей для наших целей. Прежде чем перейти к деталям в интересующей нас сейчас ситуации, можно вспомнить уже известные конструкции функторов "наивного" и "не-наивного" ко-контра соответствия, прописанные в текущей (февральской архивной) версии контрагерентного препринта.
Во всех случаях, к комплексу контрамодулей или контрагерентных копучков применяется функтор контратензорного произведения, к комплексу модулей кручения или квазикогерентных пучков применяется функтор (контрагерентных) гомоморфизмов из некоторого фиксированного (одного и того же для функторов в обе стороны) конечного комплекса квазикогерентных пучков или модулей кручения. Вопрос в том, что это за комплекс пучков или модулей кручения, который нужно использовать в качестве ядра.
Вернемся для начала еще раз к обсуждению в первом постинге этой серии
http://posic.livejournal.com/1094998.html . В перечисленных там общих ситуациях
- для полумодулей и полуконтрамодулей над полуалгеброй S над коалгеброй C, естественная эквивалентность полупроизводных категорий полумодулей и полуконтрамодулей задается функторами (полу)контратензорного произведения и полумодульных гомоморфизмов с полуалгеброй S, используемой в роли ядра
- для комодулей и контрамодулей над кокольцом C над кольцом конечной гомологической размерности, эквивалентность между копроизводной категорией комодулей и контрапроизводной категорией контрамодулей задается функторами контратензорного произведения и комодульных гомоморфизмов с кокольцом C, используемым в роли ядра
- для комодулей и контрамодулей над парой коколец над парой колец с дуализирующим комплексом, снабженным поднятием до комплекса бикомодулей, эквивалентность между ко- и контрапроизводными категориями задается функторами контратензорного произведения и комодульных гомоморфизмов с дуализирующим комплексом бикомодулей, используемым в роли ядра
Ближе к интересующему нас алгеброгеометрическому случаю, для построения ко-контра соответствий в разных вариантах в роли ядер для пар сопряженных функторов типа тензорных произведений/гомоморфизмов используются
- при "наивном" ко-контра соответствии в смысле эквивалентности между обычными/абсолютными производными категориями квазикогерентных пучков и контрагерентных копучков на квазикомпактной полуотделимой/нетеровой схеме -- структурный квазикогерентный пучок
- при "не-наивном" ко-контра соответствии в смысле эквивалентности между копроизводной категорией квазикогерентных пучков и контрапроизводной категорией контрагерентных копучков на нетеровой схеме -- дуализирующий комплекс квазикогерентных пучков
- при "не-наивном" ко-контра соответствии в смысле эквивалентности между копроизводной категорией модулей кручения и контрапроизводной категорией контрамодулей над полным нетеровым кольцом -- дуализирующий комплекс модулей кручения