MGM-двойственность и ко-контра соответствие - 12 Окончание серии постингов
http://posic.livejournal.com/1109490.html и далее по ссылкам.
Теперь мы можем закончить определение антидуализирующего комплекса C-D-бикомодулей, начатое в десятом постинге
http://posic.livejournal.com/1106295.html . Нужно предполагать, что коалгебра C конетерова (или, хотя бы, кокогерентна) слева, а D -- справа; и тогда бикомодули когомологий комплекса B должны быть конечно копорожденными (соотв., конечно копредставимыми) левыми C-комодулями, и одновременно-независимо удовлетворять тому же условию, как правые D-комодули. Лемма из предыдущего постинга (по верхней ссылке) позволяет сравнить это условие с условием конечности на антидуализирующий комплекс квазикогерентных пучков кручения, обсуждавшимся в девятом постинге
http://posic.livejournal.com/1105166.html .
****
Заключение
Таким образом, можно предположить, что производное ко-контра соответствие возникает в следующих четырех элементарных ситуациях (из которых, как из кубиков, составляются более сложные смешанные/относительные варианты; см. также обсуждение в шестом
http://posic.livejournal.com/1101059.html , пятом и первом постингах этой серии):
- для эквивалентности между ко- и контрапроизводными категориями модулей D
co(A-mod) и D
ctr(B-mod) нужен дуализирующий комплекс бимодулей над парой колец (A,B)
- между ко- и контрапроизводными категориями комодулей и контрамодулей D
co(C-comod) и D
ctr(C-contra) над коалгеброй C над полем k имеется естественная эквивалентность; сама коалгебра С выступает в роли дуализирующего комплекса бикомодулей над собой
- для эквивалентности между обычными производными категориями ко- и контрамодулей D(C-comod) и D(D-contra) нужен антидуализирующий комплекс бикомодулей над парой коалгебр (C,D)
- между D(A-mod) и D(A-mod) имеется тождественная эквивалентность; само кольцо A выступает в роли антидуализирующего комплекса бимодулей над собой.
(Продолжение следует.)