Дедуализирующий комплекс для пары коколец Продолжение постинга
http://posic.livejournal.com/1106295.html и всей серии
http://posic.livejournal.com/1115798.htmlПусть С -- кокольцо над ассоциативным кольцом A, проективное (или, хотя бы, плоское) как правый A-модуль и пусть D -- кокольцо над ассоциативным кольцом B, проективное как левый В-модуль. Можно считать, что все происходит над базовым коммутативным кольцом k. Конечный комплекс C-D-бикомодулей G называется дедуализирующим (антидуализирующим) комплексом для пары коколец C и D, если выполнены следующие условия:
- G является конечным комплексом C-D бикомодулей над k,
- имеющим конечную проективную размерность как объект C-comod и конечную проективную (или, хотя бы, контраплоскую) размерность как объект comod-D,
+ условия конечной (ко)порожденности и унитальности, которые мы попытаемся сейчас в каком-то виде сформулировать.
Заметим, что первых двух условий достаточно, чтобы построить пару сопряженных функторов комодульных гомоморфизмов и контратензорного произведения между обычными неограниченными производными категориями D(C-comod) и D(D-contra) (как, впрочем, и между любым образом ограниченными версиями этих производных категорий, и между неограниченными абсолютными производными категориями, и т.д.)
В самом деле, нужно просто заменить любой комплекс левых C-комодулей на тотализацию его достаточно длинной конечной правой резольвенты, составленной из комплексов инъективных C-комодулей, перед применением функтора Hom
C(G,−). Аналогично, нужно заменить любой комплекс левых D-контрамодулей на тотализацию его достаточно длинной конечной левой резольвенты, составленной из комплексов проективных D-контрамодулей, перед применением функтора G⊙
D−.
Вопрос в том, при каких условиях эта пара сопряженных функторов является эквивалентностью триангулированных категорий. Очевидно, достаточно, чтобы соответствующий морфизм сопряжения был квазиизоморфизмом для комплексов ко- и контрамодулей, состоящих из одного объекта. Более того, можно заменить этот объект на его инъективную/проективную резольвенту и считать его инъективным/проективным ко/контрамодулем соответственно над С и над D.
(Продолжение следует)