Лёня Посицельский's Journal
[Most Recent Entries]
[Calendar View]
Wednesday, January 7th, 2015
| Time |
Event |
| 9:09a |
Еще немного о редукции коэффициентов в мотивах Артина-Тейта Пусть k -- полное нетерово локальное кольцо, G ⊃ H -- проконечная группа с замкнутой нормальной подгруппой, и с: G → k* -- непрерывный (в адической топологии кольца k) мультипликативный характер. Мы продолжаем пользоваться обозначениями A k+, E k,0+ и E k,i+, и F k+ для точных категорий из предыдущей серии постингов и препринта 1404.5011, связанных с этим набором данных. Пусть s и t ∈ k -- два не делящих ноль, необратимых элемента. Согласно одному из первых результатов постинга http://posic.livejournal.com/1001187.html , ставшему теперь предложением 3.12 в препринте, естественный точный функтор из редуцированной категории в категорию с редуцированными коэффициентами F k+/s → F k/s+ заведомо является вполне строгим (индуцирует изоморфизмы на группах Ext 0 и мономорфизмы на Ext 1). Соответственно, то же относится к функтору F k+/st → F k/st+. Между точными категориями F k/st+ и F k/s+ действует точный функтор F k/st+ → F k/s+, сопоставляющий фильтрованному инъективному дискретному k/st-модулю N с дискретным действием G инъективный дискретный k/s-модуль sN (элементов в N, аннулируемых s) с индуцированной фильтрацией и индуцированным действием G. Утверждается, что этот функтор переводит объекты полной подкатегории F k+/st ⊂ F k/st+ в объекты полной подкатегории F k+/s ⊂ F k/s+. В самом деле -- согласно конструкции обратного функтора из доказательства эквивалентности категорий A k+/s → A k/s+ в постинге http://posic.livejournal.com/1000410.html (ныне предложение 3.3 в препринте) -- фильтрованный модуль (N,F) ∈ F k/st+ принадлежит F k+/st тогда и только тогда, когда его можно вложить, как дискретный k-модуль с действием G, в подходящий фильтрованный модуль (М,F) ∈ F k+, строго согласованным с фильтрацией образом и так, что индуцированные вложения на присоединенных факторах по фильтрации после перехода к подмодулям аннулируемых st элементов становятся допустимыми мономорфизмами в расщепимых точных категориях E k/st,i+. (Часть "только тогда" очевидна, а для доказательства "тогда" полезно еще отметить, что согласно лемме 3.4(b) из препринта, всякий допустимый мономорфизм в категории E k/st,i+ можно поднять/расширить до допустимого мономорфизма в E k,i+.) Теперь если имеется вложение (N,F) → (M,F) фильтрованных дискретных k-модулей над G, обладающее перечисленными свойствами, то ими обладает и композиция ( sN,F) → (N,F) → (M,F). Утверждение доказано. | | 11:07a |
Еще немного о редукции коэффициентов в мотивах Артина-Тейта - 2 Пусть k -- полное кольцо дискретного нормирования, l ∈ k -- униформизующий элемент, G ⊃ H -- проконечная группа с замкнутой нормальной подгруппой, и c: G → k* -- непрерывный мультипликативный характер, редукция которого c mod l: G → k/l аннулирует H. Попробуем доказать что-нибудь в направлении следующего утверждения. Теорема 3. Предположим, что основная гипотеза выполняется для точной категории F k/l и отображения Ext Ak+1(X,Y) → Ext Ak/l+1(X/l,Y/l) сюръективны для всех X ∈ E k,0 и Y ∈ E k,1. Тогда естественный точный функтор F k+/l → F k/l+ является эквивалентностью точных категорий. Ввиду предположения о редукции характера и основной гипотезы для точной категории F k/l, "большое градуированное кольцо" Ext Ak/ln(X/l,Y/l(m)), X,Y ∈ E k,0, n ≤ m порождается классами, связанными с n=0, m=1 и n=m=1. [В частности, отсюда следует, что сюръективны отображения Ext Ak+n(X,Y) → Ext Ak/l+n(X/l,Y/l) для всех X ∈ E k,0 и Y ∈ E k,n, n≥0, и более того, точны последовательности Ext Ak+n(X,Y) → Ext Ak+n(X,Y) → Ext Ak/l+n(X/l,Y/l) → 0 для X ∈ E k,0 и Y ∈ E k,n, где первое отображение является умножением на l (ввиду длинной точной последовательности Бокштейна для редукции категории A k+).] Вернемся теперь к гомоморфизму из длинной точной последовательности Ext Fk+n(X,Y) → Ext Fk+n(X,Y) → Ext Fk+/ln(X/l,Y/l) → Ext Fk+n+1(X,Y) → в длинную точную последовательность Ext Ak+n(X,Y) → Ext Ak+n(X,Y) → Ext Ak+/ln(X/l,Y/l) → Ext Ak+n+1(X,Y) → для всех X ∈ E k,0+ и Y ∈ E k,m+, обсуждавшемуся в первом приближении в постинге http://posic.livejournal.com/1000832.html . Поскольку мы знаем, что отображения Hom Fk+/l(X/l,Y/l) → Hom Ak/l+(X/l,Y/l) и Ext Fk+1(X,Y) → Ext Ak+1(X,Y) сюръективны при X ∈ E k,0 и Y ∈ E k,1, из сказанного выше следует сюръективность отображений Ext Fk+/ln(X/l,Y/l) → Hom Ak/l+n(X/l,Y/l) для всех X ∈ E k,0 и Y ∈ E k,m при n≤m. (Продолжение следует.) |
|