Лёня Посицельский's Journal

26
Года с 2007 меня преследовал навязчивый кошмар: меня просят дать определение алгебры Вирасоро.

Вот оно. Алгеброй Вирасоро называется алгебра Ли с (топологическим, если быть точным, но сейчас речь не o том) базисом L_n, где n пробегает множество всех целых чисел Z, и еще одним базисным вектором C, и со скобкой, задаваемой правилами

[L_i,C] = 0 для всех i;
[L_i,L_j] = (j−i)L_i+j + (i³−i)/12 δ_i,−j C.

Что же в этом ужасного? Всего лишь знак. Плюс или минус. Символ Кронекера δ_i,−j указывает на то, что второе слагаемое во второй формуле может быть ненулевым только при i = −j. Что же должно быть написано в предшествующей скобке, (i³−i) или (j³−j) ?

Знак коэффициента (j−i) перед первым слагаемым меня не смущал. Во-первых, я помнил наизусть со студенческих лет, что там j−i, а не i−j. Во-вторых, этот знак не имеет значения, поскольку меняется на противоположный переобозначением L_n → −L_n. В третьих, факторизуя по одномерной абелевой подалгебре, натянутой на центральный элемент C, алгебра Вирасоро превращается в алгебру векторных полей на формальной окружности, и базисные вектора L_n соответствуют векторным полям zⁿ⁺¹d/dz. Сосчитать коммутатор [zⁱ⁺¹d/dz, z^j+1d/dz] и получить коэффициент j−i я завсегда могу; а на худой конец, всегда можно переобозначить через L_n векторные поля −zⁿ⁺¹d/dz, разницы-то никакой.

С коэффициентом перед центральным элементом C дело гораздо серьезнее. Конечно, знак его меняется на противоположный переобозначением C → −C. Штука в том, что зафиксировав все-таки коэффициент при C в формуле для коммутатора, численные значения скалярных операторов, которыми действует C в некоторых представлениях Вирасоро, становятся мировыми константами. Это называется "центральный заряд", или "уровень" -- бывают представления Вирасоро на уровне 1, например, и т.д. И есть мировая константа критический уровень, равная 26. А вовсе не −26, например.

Которое число 26, конечно, производит очень эффектное впечатление, будучи неожиданно написанным на доске посреди нагромождения абстракций, типа моих бесчисленных полуалгебр, контрамодулей, полупроизводных категорий и далее везде. Закавыка в том, что могут все-таки попросить объяснить, что конкретно равно двадцати шести.

Разумеется, константно здесь не столько целое число 26, сколько все выражение во втором слагаемом второй формулы после подстановки 26 на место переменной C. Мировой константой является выражение

26(i³−i)/12 δ_i,−j,

где (i,j) -- пара целых чисел (записанных именно в таком порядке).

Например, почему, собственно, в знаменателе стоит 12? Можно сократить 26/12, получив 13/6, что выглядит уже несколько менее внушительно (хотя по-прежнему нетривиально). Отметим, что все значения многочлена i³−i = (i−1)i(i+1) при целых i являются целыми числами, делящимися на шесть -- но не на двенадцать! Шестерка в знаменателе кажется более естественной нормировкой.

Приглядевшись внимательнее, можно заметить, что произведение (i−1)i(i+1) делится на четыре (а следовательно, и на 12) при всех нечетных i, а также при i, делящихся на четыре. Из двенадцати возможных остатков, которые дает i при делении на 12, только для трех -- 2, 6 и 10 -- значение выражения (i³−i)/12 оказывается полуцелым; для остальных девяти остатков это целое число. Можно считать это умеренно приемлемым аргументом в пользу того, чтобы писать 12 в знаменателе -- а следовательно, и сакраментальные 26 в числителе.

Однако, как бы ни обстояло дело с интересными двузначными натуральными числами, а знаки мировых констант полагается помнить. Я не запомнил со студенческой скамьи, i³ там стоит или j³, и понимал, что будучи спрошен про нормировку центрального заряда в Вирасоро, по-честному должен был бы отвечать, что не уверен в знаке. В иной обстановке оно и ничего, но в некоторых случаях как-то несолидно.

Казалось бы, что может быть проще: ну, не запомнил когда-то, так погляди теперь в какой-нибудь источник и запомни. Но в какой источник? Проблема в том, что в литературе в этом месте полный разнобой.

Википедическая статья дает (в наших обозначениях выше) формулу с i³−i, но Википедии в таких делах доверия немного -- ср. историю с когерентным слева кольцом и плоскими правыми модулями (http://mathoverflow.net/questions/7279/ (комменты), http://posic.livejournal.com/367032.html ), где очевидная ошибка лево-право провисела больше двух лет, пока я ее не исправил.

Алгебра Вирасоро, конечно, гораздо популярнее когерентных колец, и история правки соответствующей википедической статьи очень длинная. Случайное тыкание в нее наводит на мысль, что соответствующий фрагмент оставался неизменным со дня появления первой версии в 2003 году и посейчас. Не знаю, должно ли это свидетельствовать в пользу надежности или ненадежности приводимых там знаков.

(А! нет, присмотревшись повнимательнее, обнаруживаем, что Википедия использует нестандартную, на мой взгляд, конвенцию относительно знака первой скобки -- в обозначениях выше, там написано (i−j)L_i+j. Причем с 2003 года было j−i, а в 2005 исправили на i−j, мотивировав ссылкой на "стандартную конвенцию в физике". Ну ладно, это все же не ошибка.)

В заметке Фейгина-Фукса в "Функциональном анализе" 1983 года в формуле для коммутатора фигурирует коэффициент j³−j при центральном элементе. Такая же формула выписана и в более длинной английской статье тех же авторов под тем же названием.

В заметке Фейгина в "Успехах" 1984 года уже написано i³−i. Такая же формула обнаруживается и у Рока-Кариди -- Воллака в известной статье 1984 года. У Фейгина-Френкеля в работе 1991 года (эрратум) написано (в наших обозначениях) i³−i.

В надежде, что за прошедшие годы выписываемые формулы успели корректно стабилизироваться, я сделал поиск на "Virasoro" на Архиве. Первой выскакивает работа Маршакова-Миронова-Морозова, где можно видеть формулу, эквивалентную j³−j. Откуда-то у меня выпала ссылка на статью покойного Асташкевича, где написано j³−j.

Деваться некуда, приходится проверять самому. За прошедшие годы я успел сообразить, от какой печки тут удобно плясать -- от формулы для коцикла, с которым алгебра Ли gl(g) действует в пространстве полубесконечных форм ⋀^∞/2+*(g) на тейтовском векторном пространстве/алгебре Ли g. Вот она, эта формула со страницы 287, раздела D.3.4 моей полубесконечной книжки:

θ(A∧B) = tr A_b→hB_h→b − tr B_b→hA_h→b.

В интересующем нас случае

g -- это алгебра Ли k((z))d/dz векторных полей на формальной окружности, с топологическим базисом L_n = zⁿ⁺¹d/dz;
A и B -- это операторы присоединенного действия базисных векторов L_i и L_j на g;
g = h⊕b -- разложение тейтовской алгебры Ли g в прямую сумму компактного подпространства (которое всегда можно выбрать подалгеброй) и его дискретного дополнения (которое в данном случае тоже можно выбрать подалгеброй) -- для определенности, пусть h обозначает замыкание линейной оболочки векторов L₁, L₂, L₃, …, а b -- линейную оболочку векторов L₀, L₋₁, L₋₂, …;
A_b→h -- компонента блочной 2×2-матрицы, с которой оператор A действует "из b в h" в разложенном в прямую сумму подпространств h и b пространстве g;
tr -- след непрерывного оператора с открытым ядром и конечномерным образом, действующего из линейно компактного векторного пространства h в себя;
и θ(A∧B) -- скаляр, с которым коммутатор линейных операторов [L_i,L_j], за вычетом базисного (j−i)L_i+j, поднятого до однозначно определенного оператора по некоторому правилу, действует в пространстве полубесконечных форм.

Заметим, что представление алгебры Вирасоро в пространстве полубесконечных форм на векторных полях на формальной окружности находится на "антикритическом" уровне, т.е., при правильной нормировке коцикл θ должен соответствовать центральному заряду −26 (так, чтобы представление с центральным зарядом 26 можно было помножить тензорно на пространство полубесконечных форм и, выписав дифференциал, посчитать его полубесконечные гомологии).

Например, для i=1 и j=−1 получается A_h→b = 0 = B_b→h, оператор A_b→h переводит L₀ в −L₁, оператор B_h→b переводит L₁ в 2L₀, на остальных векторах они действуют нулем. Итого θ(L₁,L₋₁) = −2.

А как же обещанная формула с (i³−i)/12 то ли (j³−j)/12, она же дает значение коцикла, равное нулю для i=−j=1, а тут какая-то двойка? А это еще одна нормировка, связанная с тем, что коциклы бывают определены с точностью до кограниц. Едем пока что дальше.

Для i=2 и j=−2 имеем A_h→b = 0 = B_b→h, оператор A_b→h переводит L₀ в −2L₂ и L₋₁ в −3L₁, оператор B_h→b переводит L₂ в 4L₀ и L₁ в 3L₋₁, на остальных векторах они действуют нулем. Итого θ(L₂,L₋₂) = − 2*4 − 3*3 = −17.

Вообще, −θ(L_n,L_−n) = 2n*n + (2n−1)(n+1) + … + (n+1)(2n−1) = ∑_k=1ⁿ (n+k)(2n−k) = ∑_k=1ⁿ (2n²+nk−k²) = 2n³ + n²(n+1)/2 − n(n+1)(2n+1)/6 = 13/6 n³ − 1/6 n. При этом θ(L_i,L_j) = 0 при i≠−j, т.к. в этом случае рассматриваемые композиции компонент операторов присоединенного действия вообще не имеют матричных элементов на диагонали в базисе из L_n (будучи однородными операторами ненулевой степени однородности в соответствующей градуировке).

Вот мы и получили прославленную константу 13/6 = 26/12; а почему в коэффициенте при n стоит не она, а какая-то 1/6 ? А это потому, что всегда можно сделать переобозначение L₀ → L₀ + aC, где a -- любое число. Поскольку в коэффициенте при L₀ в выражении для [L_n,L_−n] стоит 2n, инвариантный смысл имеет только слагаемое с n³ в коэффициенте при C.

Искомый знак, таким образом, тоже вычислен. Правильным является определение, данное в начале этого постинга: коэффициент при C в выражении для [L_i,L_j] при i=−j выражается формулой (i³−i)/12 (а никакое не j³−j). Википедия права, а у Фейгина-Фукса ошибка, которую Фейгин потом исправляет, а отдельные русские авторы продолжают повторять до недавних лет.