Дедуализирующий комплекс для аффинной нетеровой формальной схемы Продолжение сентябрьского постинга
http://posic.livejournal.com/1105166.html , декабрьского
http://posic.livejournal.com/1153742.html и январского
http://posic.livejournal.com/1157340.html , см. также февральский
http://posic.livejournal.com/1160333.htmlПусть R -- нетерово коммутативное кольцо с идеалом I. Комплексный комплекс R-модулей I-кручения (т.е., в которых каждый элемент аннулируется некоторой степенью I) B называется дедуализирующим комплексом для (R,I), если
- B имеет конечную проективную размерность как комплекс объектов в абелевой категории R-модулей I-кручения;
- естественное отображение R^ = proj lim
n R/I
n → RHom
R(B,B) является квазиизоморфизмом (комплексов абелевых групп);
- для любого n, подмодули элементов, аннулируемых I
n в R-модулях когомологий комплекса B являются конечно-порожденными R/I
n-модулями.
Теорема. Для любого (в обозначениях препринта Contraherent cosheaves) символа * = b, +, −, ∅, abs+, abs− или abs, производные функторы RHom
R(B,−) и B⊗
LR− задают эквивалентность "обычных" производных категорий D*((R,I)-tors) и D*((R,I)-contra) R-модулей I-кручения и R^-контрамодулей.
Доказательство: согласно рассуждениям из декабрьского постинга по ссылке выше, достаточно показать, что морфизмы сопряжения R^[[X]] → RHom
R(B, B⊗
LRR^[[X]]) = RHom
R(B,B[X]) и B ⊗
LR Hom
R(B,J) → J являются квазиизоморфизмами для всех множеств X и всех инъективных R-модулей I-кручения J.
Пусть K -- ограниченный снизу комплекс инъективных R-модулей I-кручения, снабженный квазиизоморфизмом B → K. Тогда Hom
R(K,K) -- неограниченный с обеих сторон комплекс плоских R-модулей кокручения, вычисляющий RHom
R(B,B). Более того, комплекс R-модулей Hom
R(K,K) гомотопически плоский, поскольку для любого ацикличного конечного комплекса конечно-порожденных R-модулей С комплекс C ⊗
R Hom
R(K,K) = Hom
R(Hom
R(C,K),K) ацикличен. Поэтому квазиизоморфизм R^ → Hom
R(K,K) индуцирует квазиизоморфизмы R/I
n → Hom
R(K,K)/I
n(K,K) = Hom
R/In(
(In)K,
(In)K).
Далее, ввиду последнего третьего условия на комплекс B, комплекс R/I
n-модулей
(In)K имеет конечно-порожденные R/I
n-модули когомологий.
(Продолжение следует.)