Лёня Посицельский's Journal

Разрозненные заметки по MGM-двойственности - 5
Что-то я запутался в трех соснах немножко, причем еще в сентябре. Во-первых, "конетеровость" называется по-русски -- артиновость. Конечно, коалгебра, двойственная к алгебре формальных степенных рядов от нескольких коммутирующих переменных, является артиновым комодулем над собой -- в конце концов, что k[[x]]-модуль k((x))/k[[x]] артинов, мы завсегда знали. Но эта артиновость не имеет места для неточечных формальных схем, в которые зашито хотя бы и нетерово, но не артиново кольцо функций на определяющей (не формальной) замкнутой подсхеме.

"Лемма о конетеровости" из предыдущего постинга http://posic.livejournal.com/1168892.html неверна, а определение "антидуализирующего комплекса" на нетеровой формальной схеме из постинга http://posic.livejournal.com/1105166.html полугодовой давности, соответственно, не имеет смысла. Вот несложный контрпример: рассмотрим нетерово кольцо k[x,s] многочленов от двух переменных над полем k с идеалом I=(s) и I-адическим пополнением k[x][[s]]. Рассмотрим k[x][[s]]-модуль k[x,s,s⁻¹]/sk[x,s] и в нем подмодуль M с базисом, состоящим из векторов x^js⁻ⁱ с i ≤ j. Тогда для любого n ≥ 1 подмодуль векторов, аннулируемых sⁿ в M, является свободным модулем над k[x] с n образующими 1, xs⁻¹, …, xⁿs⁻ⁿ, но фактормодуль M/sM модуля M есть бесконечномерное k-векторное пространство с базисом xⁱs⁻ⁱ, i ≥ 0, в котором x и s действуют нулем.

Видимо, условие конечности на дедуализирующий комплекс для формальной схемы следует формулировать по-другому. Из рассуждений в предыдущем постинге видно, что на самом деле в них используется. Скажем, в случае нетерова кольца R достаточно потребовать, чтобы для любого конечного комплекса конечно-порожденных свободных R-модулей T, модули когомологий которого являются R-модулями I-кручения, комплекс R-модулей I-кручения Hom_R(T,B) имел конечно-порожденные R-модули когомологий. Отметим, что это условие выполнено для интересующего нас комплекса RΓ_I(R), квазиизоморфного комплексу R-модулей Tel(R,s), в роли B.

В случае произвольного коммутативного кольца B со слабо прорегулярным конечно-порожденным идеалом I, можно воспользоваться следующим понятием компактности комплекса R-модулей I-кручения. Напомним, что обычная неограниченная производная категория абелевой категории R-модулей I-кручения D(R-mod_I-tors) является полной подкатегорией, замкнутой относительно бесконечных прямых сумм, в производной категории абелевой категории произвольных R-модулей D(R-mod). Далее, эта полная подкатегория порождена объектами, компактными в объемлющей категории, а именно, комплексами T_n = Hom_R(Tel_n(R,s),R).

В самом деле, нетрудно проверить, что функтор дуализации Hom_R(−,R) сохраняет свойство совершенного комплекса R-модулей иметь модули когомологий, целиком аннулируемые подходящими степенями I (факт этот использовался уже в абзаце про нетерово кольцо R), а комплекс indlim_n Hom_R(T_n,M) = Tel(R,s) ⊗_R M, будучи квазиизоморфен M, имеет ненулевые когомологии для любого ненулевого комплекса R-модулей I-кручения M. Потребуем теперь, чтобы комплекс R-модулей I-кручения Hom_R(T,B) был совершенным объектом категории D(R-mod_I-tors) для любого комплекса конечно-порожденных свободных R-модулей T, модули когомологий которого целиком аннулируются подходящими степенями I.

Накладывая такие условия конечности на дедуализирующий комплекс B и пользуясь вычислениями из предыдущего постинга http://posic.livejournal.com/1168892.html, можно доказать, наконец, теорему MGM-двойственности из февральского постинга http://posic.livejournal.com/1163356.html .

P.S. Заметим, что функтор T → Hom_R(T,B) является авто-антиэквивалентностью на категории компактных объектов в D(R-mod_I-tors), как следует из условия конечности на B в сформулированной в предпоследнем абзаце форме + условия, что отображение R^ → Hom_R(B,B) является квазиизоморфизмом. Условно-канонический выбор дедуализирующего комплекса B, квазиизоморфного Tel(R,s), соответствует выбору антиэквивалентности на D(R-mod_I-tors)^cmp, согласованной с антиэквивалентностью Hom(−,R) на D(R-mod)^cmp.

Вообще, интересен параллелизм между контравариантными двойственностями на категориях компактных объектов и ковариантными двойственностями (ко-контра соответствиями) для соответствующих "больших" категорий инд-объектов. Похоже, это можно сформулировать примерно так: пусть в компактно-порожденной триангулированной категории D имеется объект C, такой что функтор Hom_D(−,C) хорошо вычислять на подкатегории компактных объектов в D (скажем, он консервативен, принимает значения в категории конечных комплексов абелевых групп и что-то там еще). Тогда "контрамодули в D" -- это объекты P ∈ D, для которых "хорошо вычислять" функтор Hom_D(C,P) -- скажем, получаются конечные комплексы абелевых групп, или даже просто абелевы группы, помещенные в когомологическую градуировку 0, и т.п.