| 4:12p |
Восстановление многообразия по производной категории когерентных пучков
Из архива переписки за первый квартал 1995 года:
From posic Wed Jan 25 14:45:42 1995
To: "Sasha Vishik"
Organization: Independent University of Moscow
From: Leonid Positselski
Date: Wed, 25 Jan 1995 14:45:42 +0300
Privet!
<...>
Vot samaja obschaja formulirovka teoremy o proizvodnoj kategorii kogerentnyh puchkov, kotoruju mne udalos' poluchit' s pomoschju tvoej idei:
Pust' F:D(X)->D(Y) - ekvivalentnost' proizvodnyh kategorij na gladkih mnogoobrazijah X i Y, kommutirujuschaja s funktorami podkrutki na obratimye puchki L_X i L_Y. Predpolozhim, chto odin iz etih puchkov, skazhem L_X, udovletvoryaet sledujuschemu usloviju: dlya lubogo kogerentnogo puchka E na X, esli E perehodit v sebya pri podkrutke na L_X, to H^0(X,E) ne 0. Togda funktor F sohranyaet, s tochnostju do sdviga, standartnye t-struktury na D(X) i D(Y), sledovatel'no, induciruet isomorfizm X i Y.
Lenya.
From posic Fri Jan 27 20:15:54 1995
To: "Sasha Polishchuk"
Organization: Independent University of Moscow
From: Leonid Positselski
Date: Fri, 27 Jan 1995 20:15:54 +0300
Subject: proizvodnaya kategoriya
Privet!
<...>
S proizvodnoj kategoriej situacija sledujuschaja. Pered samym moim otjezdom iz Bostona Vishik nashel novuju ideju, sovsem prostuju:
Pust' U,V iz D(X)=D^b_coh(X), X - gladkoe mnogoobrazie. Togda vnutrennij hom^*(U,V) raven nulyu tittk nositeli U i V ne peresekajutsja. V samom dele, Rhom^*(U,V)=Rhom^*(U,O)\otimes V; jasno, chto dvojstvennost' Rhom^*(U,O) sohranyaet nositeli, tak chto dostatochno proverit' sootvetstvujuschee utverzhdenie dlya U\otimes^L V. Pust k=max{i+j: supp h^iU peresekaet supp h^jV}, togda h^k(U\otimes^LV) = \bigoplus_{i+j=k} h^iU\otimes h^jV - ne ravno nulyu.
Kombiniruja eto soobrazhenie s rassmotreniem objektov, perehodyaschih v sebya pri podkrutke, mozhno vyvesti, chto standartnaja t-struktura na D(X) vosstanavlivaetsya po funktoru podkrutki na obratimyj puchok L_X, esli on udovletvoryaet sledujuschemu usloviju:
Esli kogerentnyj puchok F na X perehodit v sebya pri podkrutke na L_X, to H^0(X,F) ne ravno nulyu.
Tochnee, pust' X i Y - gladkie mnogoobrazija (ne obyazatel'no proektivnye ili affinnye), i f:D(X)->D(Y) - ekvivalentnost' kategorij, kommutirujuschaja s funktorami podkrutki na L_X i L_Y, gde L_X udovletvoryaet etomu usloviju. Togda, s tochnostju do sdviga, f sohranyaet standartnye t-struktury na D(X) i D(Y), v chastnosti, induciruet isomorfism X i Y, perevodyaschij L_X v L_Y.
V chastnosti, esli f - ekvivalentnost' D(X) i D(Y), to f sohranyaet t-strukturu v sledujuschih dvuh sluchayah: a) X kvaziaffinno, b) X i Y proektivny i kan. klass na X udovletvoryaet usloviyu vyshe. Poslednee v proektivnom sluchae oznachaet, chto vsyakij puchok, perehodyaschij v sebya pri podkrutke, imeet nul'mernyj nositel', ili, ekvivalentno, dlya lybogo netrivial'nogo morfizma C->X, gde C - gladkaya proektivnaya krivaya, f^*L_X - obratimyj puchok beskonechnogo poryadka na C (dostatochno, konechno, morfizmov, injektivnyh v obschej tochke).
Ostajutsya tri problemy. Vo pervyh, hochetsya esche najti avtomorfizmy D(X), kommutirujuschie s podkrutkoj na L_X. Ochevidnyj otvet - oni dolzhny porozhdatsya avtomorfizmami samogo X, podkrutkami i sdvigami. Problema (na kotoryju mne ukazal Deligne) v tom, kak dokazat', chto ne byvaet avtomorfizmov proizvodnoj kategorii (kak triangulirovannoj kategorii), sohranjajuschih t-strukturu i tozhdestvennyh na abelevoj podkategorii. Kazhetsya, ja mogu dokazat', chto takie avtomorfizmy perevodjat ljuboj objekt v izomorfnyj sebe.
Vo vtoryh, chto oznachaet eto uslovie na L_X? U menya est' konkretnyj vopros po etomu povodu:
Verno li, chto vsyakoe mnogoobrazie, ne soderzhaschee proektivnyh krivyh, kvaziaffinno?
[приехав в Гарвард аспирантом в сентябре 95 года, я задал этот вопрос Джо Харрису, и тот немеденно привел контрпример]
Esli da, to uslovie na L_X mozhno pereformulirovat' tak zhe, kak dlya proektivnyh mnogoobrazij, prichem dostatochno tol'ko proektivnyh krivyh: dlya lyubogo netrivial'nogo morfizma f:C->X, gde C - gladkaya proektivnaya krivaya, f^*L_X - beskonechnogo poryadka na C.
I nakonec, glavnoe: kak obojtis' bez zadanija funktora podkrutki v sluchae, kogda mnogoobrazie ne proektivno i ne kvaziaffinno? To est', kak vosstanovit' funktor podkrutki na kanonicheskij puchok na neproektivnom mnogoobrazii?
Lenya. |