Лёня Посицельский's Journal
[Most Recent Entries]
[Calendar View]
Monday, April 27th, 2015
| Time |
Event |
| 3:44p |
Коалгебры артиновы, конетеровы и кокогерентные
Лемма 1. Для любой коалгебры E над полем k, аддитивная категория конечно копорожденных правых E-комодулей антиэквивалентна аддитивной категории конечно порожденных левых E-контрамодулей, которая эквивалентна аддитивной категории конечно порожденных левых E*-модулей. При этом антиэквивалентность, действующая из категории комодулей в категорию контрамодулей, образует коммутативный квадрат с забывающими функторами в категорию k-векторных пространств и функтором двойственности Homk(−,k), действующим из категории k-векторных пространств в себя, а эквивалентность образует коммутативный треугольник с забывающими функторами в категорию k-векторных пространств.
Следствие 1. Аддитивная категория конечно копредставимых правых E-комодулей антиэквивалентна аддитивной категории конечно представимых левых E-контрамодулей, которая эквивалентна аддитивной категории конечно представимых левых E*-модулей. Эти антиэквивалентность и эквивалентность аддитивных категорий согласованы с забывающими функторами в категорию k-векторных пространств, как описано в лемме 1.
Следствие 2. а) Коалгебра E кокогерентна справа тогда и только тогда, когда алгебра E* когерентна слева.
б) Коалгебра Е артинова справа тогда и только тогда, когда алгебра E* нетерова слева.
Доказательство: в пункте а), первое условие означает, что в категории конечно копредставимых правых Е-комодулей есть коядра всех морфизмов, сохраняемые забывающим функтором в категорию k-векторных пространств, а второе -- что в категории конечно представимых левых E*-модулей есть ядра всех морфизмов, сохраняемые забывающим функтором в категорию k-векторных пространств. В предположении эквивалентных условий из пункта а), когда категории конечно копредставимых правых E-комодулей и конечно представимых левых E*-модулей абелевы, первое условие означает, что в категории конечно копредставимых правых E-комодулей обрываются убывающие цепочки подобъектов, а второе -- что в категории конечно представимых левых E*-модулей обрываются возрастающие цепочки подобъектов.
Замечание: похоже, примерно таким же образом можно доказать, что правый E-комодуль M артинов тогда и только тогда, когда левый Е*-модуль M* нетеров, а правый E-комодуль M кокогерентен тогда и только тогда, когда левый E*-модуль M* когерентен. Нужно пользоваться тем фактом, что гомоморфизмы левых E*-модулей J* → M* находятся в биективном соответствии с гомоморфизмами правых E-комодулей M → J для любого конечно копорожденного косвободного правого E-комодуля J (и соответственно, конечно порожденного свободного левого E*-модуля J*). | | 5:05p |
Коалгебры артиновы, конетеровы и кокогерентные - 2
Коалгебра C называется конетеровой слева, если всякий факторкомодуль конечно копорожденного левого C-комодуля конечно копорожден. Всякая артинова слева коалгебра является конетеровой слева, хотя обратное неверно (бесконечномерные кополупростые коалгебры конетеровы, но не артиновы).
Лемма. Пусть E -- конетерова слева коалгебра над полем k. Тогда для любого правого E-комодуля N и любого левого E-контрамодуля P естественное сюръективное отображение из тензорного произведения в контратензорное N⊗E*P → N⊙EP является изоморфизмом.
Доказательство. Для любой подкоалгебры D ⊂ E обозначим через ND максимальный подкомодуль E-комодуля N, являющийся D-комодулем, через DP максимальный факторконтрамодуль E-контрамодуля P, являющийся D-контрамодулем, и через D\P максимальный фактормодуль E*-модуля P, являющийся D*-модулем. Тогда тензорное произведение N ⊗E* P есть прямой предел тензорных произведений ND ⊗D* D\P по всем конечномерным подкоалгебрам D ⊂ E, а контратензорное произведение N ⊙E P есть прямой предел тензорных произведений ND ⊗D* DP по тем же конечномерным подкоалгебрам D. Поэтому достаточно показать, что D\P = DP.
Далее, имеем D\P = D*⊗E*P и DP = CohomE(D,P). Теперь остается представить конечно копорожденный левый E-комодуль D в виде ядра морфизма конечно копорожденных косвободных левых E-комодулей I → J, посчитать CohomE(D,P) как коядро морфизма CohomE(J,P) → CohomE(I,P), и отметить, что последний морфизм совпадает с морфизмом J*⊗E*P → I*⊗E*P, коядром которого является тензорное произведение D* ⊗E* P.
Следующий результат является целью этих двух постингов.
Следствие. Пусть E -- кокогерентная справа и конетерова слева коалгебра над полем k. Тогда контраплоская размерность конечного комплекса правых E-комодулей не превышает его проективной размерности.
Доказательство. Пусть B -- конечный комплекс правых E-комодулей. Тогда для любого конечно копредставимого правого E-комодуля M имеются естественные изоморфизмы HomE(B,M) = HomE(M*,B*) = (B⊙EM*)*, так что гомологическая размерность функтора контратензорного произведения с B на категории конечно порожденных левых E-контрамодулей не превышает гомологической размерности функтора Hom из B на категории правых E-комодулей.
Далее, согласно лемме функтор контратензорного произведения над E (для произвольных правых E-комодулей и левых E-контрамодулей) не отличается от функтора тензорного произведения над E*. Кроме того, свободные E-контрамодули суть прямые слагаемые прямых произведений копий E-контрамодуля E*; конетеровость слева коалгебры E влечет когерентность справа алгебры E*, из чего следует, что прямые произведения плоских левых E*-модулей плоски. Так что и производный функтор контратензорного произведения левых E-контрамодулей с B есть обычный Tor над Е*.
Наконец, в силу когерентности слева алгебры E* гомологическая размерность функтора Tor с комплексом B на (абелевой) категории конечно представимых левых E*-модулей совпадает с его гомологической размерностью на категории произвольных E*-модулей. Следствие доказано. |
|