Лёня Посицельский's Journal
[Most Recent Entries]
[Calendar View]
Thursday, May 14th, 2015
| Time |
Event |
| 4:47a |
| | 11:02a |
Что я могу сказать по поводу написанного
1. Это первая моя чисто израильская работа, от начала до конца задуманная и написанная в Израиле под впечатлением от общения с израильскими математиками. Хотя я, конечно, знал о существовании MGM-двойственности еще в Москве, но размышлять о ней начал только по приезде сюда.
2. Эта работа следует сложившемуся у меня в последние годы стереотипу деятельности по прояснению и закрытию наук. Происходит этот так: имется небольшая область вблизи гомологической алгебры, в которой, по состоянию на момент моего появления, многое определено, многое доказано, посчитано, написано, все простейшие соображения уже пущены в ход -- и ничего не понято.
Люди пишут статью за статьей, не понимая природы ключевых конструкций, на которые они опираются, роли определений и условий, которые они подробнейшим образом обсуждают, зачем нужны эти условия и как они влияют на основные результаты, в какой форме эти результаты могут и должны формулироваться. Прямо признаются, что не понимают, как соотносятся их работы с работами других и предшествующих авторов, писавших на ту же тему, с классическими работами. Не видят важного, фундаментального, очевидного, прямо глядящего им в глаза; пишут, сами не знают, о чем.
По итогам моего вмешательства, общая картина совершенно прояснена, философия предмета продумана, изложена во введениях к статьям, роль различных элементов растолкована, результаты сформулированы в законченной форме. Но -- техническая сложность резко выросла, входной барьер повысился. Дальше писать на эту тему статью за статьей, не понимая, что происходит, становится затруднительно. На уровне общих слов ситуация прозрачна, но владение предметом на техническом уровне требует теперь изучения новых, непривычных идей, концепций, определений, методов рассуждений.
Старожилам и пионерам это может не нравиться, но тут уж ничего не поделаешь. Это математика, сфера умственного труда. Здесь нужно быть готовым учиться всю жизнь. Халява, раздолбайство, халтура имеют свои пределы. | | 12:53p |
К предыдущему
Кстати, верный признак неграмотной и некомпетентной (хотя, возможно, и вполне содержательной) работы в современной гомологической алгебре -- это рефлекторная, автоматическая и безотносительная к существу конструкций и задач отсылка к Спалтенштейну, к "K-инъективным и K-проективным резольвентам".
На самом деле, работа Спалтенштейна очень важная, и из идей ее (которые автор скромно аттрибутирует Бернштейну) очень много чего в современной гомологической алгебре выросло. Но граждане, автоматически, "потому что так всегда делается", ссылающиеся на Спалтенштейновы резольвенты, делают это не потому, что понимают, зачем они нужны, -- а потому, что следуют общему подходу к гомологической алгебре как к закрытому списку универсальных рецептов и окончательных ответов на разные вопросы, которые нужно только применить один за другим в правильном порядке, чтобы получить решение своей задачи.
Граждане считают, что есть некая "проблема резольвент неограниченных комплексов", которая была раз и навсегда решена Спалтенштейном, так что если где есть неограниченные комплексы, то вот на этот случай имеется Спалтенштейнова конструкция, которой нужно пользоваться. Что на самом деле делает эта конструкция, зачем она нужна, какие есть возможные альтернативные подходы и какие из них в каких случаях имеет смысл использовать, граждане не осознают и осознать не пытаются.
Большинство из них, я думаю, вряд ли смогут объяснить, в чем, собственно, воображаемая ими "проблема резольвент неограниченных комплексов" состоит. Просто -- была там какая-то последняя проблема в гомологической алгебре, с неограниченными комплексами связанная, но ее Спалтенштейн решил. Сослаться, да и дело с концом. | | 6:50p |
FAQ
Q1: Как соотносятся контрагерентные копучки и инд-когерентные пучки?
A1: Как термины из разных терминологических систем.
Инд-когерентные пучки в буквальном смысле -- это просто квазикогерентные пучки (по крайней мере, на нетеровой схеме). Берется абелева категория когерентных пучков, применяется к ней конструкция категории инд-объектов, получается абелева категория квазикогерентных пучков.
"Инд-когерентные пучки" в том смысле, как это выражение употребляется у Гайцгори и т.д. -- это сокращенный оборот с опущенными словами, жаргонизм такой. На самом деле имеется в виду что-то вроде "инд-объектов в (бесконечность,1)-производной категории когерентных пучков". Это не пучки, а комплексы пучков. Не абелева или точная, а (бесконечность,1) или триангулированная категория.
Контрагерентные копучки, с другой стороны -- точная категория (в каком-то там смысле, "отстоящая на конечную гомологическую размерность от абелевой", на квазикомпактной полуотделимой схеме, и т.д.) Так же, как под "квазикогерентными пучками" в терминологической системе, к которой относится выражение "контрагерентные копучки", понимается абелева категория пучков (а вовсе никаких не комплексов).
В терминологической системе, к которой относится выражение "контрагерентные копучки", выражению "инд-когерентные пучки" соответствует понятие "копроизводная категория квазикогерентных пучков". По крайней мере, на нетеровой схеме, подлежащая триангулированная категория (бесконечность,1)-категории "инд-когерентных пучков" в смысле Гайцгори естественно эквивалентна "копроизводной категории квазикогерентных пучков" в смысле моих текстов.
Между триангулированными категориями, построенными на основе квазикогерентных пучков и контрагерентных копучков, в свою очередь, имеются разные эквивалентности -- в целом, этот класс феноменов называется "ко-контра соответствием". В частности, если на нетеровой схеме выбран дуализирующий комплекс, то с этим выбором связана (зависящая от него) эквивалентность между копроизводной категорией квазикогерентных пучков и контрапроизводной категорией контрагерентных копучков.
Суммируя утверждения из двух предыдущих абзацев, получаем: "выбор дуализирующего комплекса на нетеровой схеме индуцирует эквивалентность между инд-когерентными пучками и контрапроизводной категорией контрагерентных копучков". Смесь французского с нижегородским, явственно режущая ухо в закавыченной фразе, выдает существо обсуждаемого вопроса.
Q2. Вопрос не об этом. Словоупотребление словоупотреблением, но почему-то кажется, что между понятиями, обозначаемыми этими словами, должна быть прямая связь.
A2. Да, я думаю, что понимаю, почему так кажется. Это ошибка, вот с чем связанная.
Обычно думают, что с морфизмом схем связаны два функтора обратного образа -- обычный f* и экстраординарный f!. Если рассматривать неограниченные комплексы пучков, то оказывается, что на обычной производной категории квазикогерентных пучков хорошо определены функторы f*, а на копроизводной категории ("инд-когерентных пучках") -- f!. Лингвистическая интуиция подсказывает, что "контрагерентные копучки" (что бы под таковыми ни понималось) тоже должны быть как-то связаны с функтором f!.
Это путаница, потому что функторов обратного образа не два, а, как минимум, три (на самом деле, наверное, четыре...) Запутаться несложно, поскольку различие в литературе не подчеркивается, обозначение f! употребляется в разных текстах в двух разных смыслах, а людей, внимательно читавших приложение Делиня к книжке Хартсхорна и т.п. источники, или самостоятельно продумывавших эти основания, очень немного. Но разница весома, груба, зрима и совершенно очевидна.
Есть функтор f*, сопряженный слева к функтору прямого образа f*. Есть функтор f×, сопряженный справа к функтору прямого образа f*. Это функтор, существование которого на (производной или копроизводной) категории квазикогерентных пучков можно вывести из общих теорем существования сопряженных функторов, представимости Брауна и т.д. Это то, что у меня называется "экстраординарный функтор обратного образа Неемана" (хотя Делинь пишет, что его построил еще Вердье).
И есть функтор f!, равный f* для открытого вложения и f× для собственного морфизма f. Чтобы построить функтор f! для произвольного морфизма (конечного типа) f, надо разложить этот морфизм в композицию открытого вложения и собственного морфизма (или замкнутого вложения и гладкого морфизма, и т.п.) и взять композицию двух совершенно разных функторов обратного образа для двух компонуемых морфизмов схем, из которых составлен морфизм f. Это то, что у меня называется "экстраординарным функтором обратного образа Делиня".
То, что он не зависит от разложения морфизма f в композицию двух морфизмов из требуемых классов -- довольно тонкий факт, который Делинь доказывает для ограниченных снизу производных категорий. Для обыкновенных неограниченных производных категорий квазикогерентных пучков он неверен (на что у Неемана есть контрпример), но верен для копроизводных категорий.
Для открытого вложения аффинных схем Spec S → Spec R функтор f* сопоставляет модулю M над кольцом R модуль S⊗RM над кольцом S, функтор f× сопоставляет модулю M над кольцом R модуль HomR(S,M), а функтор f! так просто не опишешь (он и не существует ни в каком виде на уровне абелевых категорий, а только как триангулированный).
Определение абелевой категории квазикогерентных пучков использует для склейки функторы f* для аффинных открытых подсхем, а точной категории контрагерентных копучков -- функторы f×. При этом S -- плоский, но обычно не проективный R-модуль (на самом деле, его проективная размерность никогда не превосходит единицы, но все же не ноль), так что функтор тензорного произведения с S над R точен, а функтор Hom из S над R только точен слева. Именно поэтому категория квазикогерентных пучков абелева, а категория контрагерентных копучков всего лишь точная. |
|