DG-модули над пополненным комплексом Амицура - 3 Как было сказано в конце первого постинга этой серии
http://posic.livejournal.com/1187439.html , нашей целью является построение эквивалентности между копроизводной категорией дискретных DG-модулей над приведенным пополненным комплексом Амицура (негладкого) аффинного многообразия Z и производной категорией D-модулей над Z. Согласно результатам второго постинга
http://posic.livejournal.com/1187909.html , гомологическая размерность абелевой категории D-модулей на Z конечна, так что ее производная категория не отличается от ее копроизводной категории.
Из результатов второго постинга нетрудно вывести, что производная категория D-модулей на Z совпадает с ядром функтора ограничения, действующего из производной категории D-модулей на X в производную категорию D-модулей на X∖Z (заменить комплекс D-модулей на X на квазиизоморфный комплекс инъективных D-модулей и рассмотреть точный треугольник локализации на Z и X∖Z). Таким образом, нашей целью является отождествление копроизводной категории дискретных DG-модулей над (приведенным пополненным) комплексом Амицура многообразия Z с ядром функтора ограничения, действующего из копроизводной категории дискретных DG-модулей над комплексом Амицура многообразия X в копроизводную категорию (квазикогерентных пучков) дискретных DG-модулей над комплексом Амицура над X∖Z, или в совокупность таких категорий DG-модулей для открытых аффинных подмногообразий в X, образующих покрытие X∖Z.
Очевидный функтор прямого образа (ограничения скаляров) сопоставляет дискретному DG-модулю над комплексом Амицура замкнутого подмногообразия Z дискретный DG-модуль над комплексом Амицура объемлющего многообразия X, зануляющийся в ограничении на X∖Z. Хотелось бы доказать, что этот функтор является эквивалентностью между копроизводной категорией по левую сторону стрелки и ядром функтора ограничения, действующего между копроизводными категориями, по правую сторону.
Желаемый результат можно было бы назвать теоремой Кашивары для дискретных DG-модулей над приведенным пополненным комплексом Амицура. От классической теоремы Кашивары он отличается прежде всего тем, что мы хотели бы иметь его для негладких многообразий. Тем не менее, ближайшим аналогом нашего желаемого результата в известной мне литературе представляется теорема Кашивары для DG-модулей над комплексом де Рама (гладкого многообразия над полем характеристики ноль и его гладкого подмногообразия), которую можно найти в разделе 6 работы Сережи Рыбакова
http://arxiv.org/abs/1311.7503 ,
http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs40879-014-0014-4 .
Следуя в русле рассуждений из этой работы, доказательство теоремы Кашивары для дискретных DG-модулей над комплексом Амицура могло бы выглядеть примерно следующим образом. Рассуждая по индукции по числу уравнений, высекающих замкнутое подмногообразие Z из объемлющего (гладкого) афинного многообразия X, достаточно рассмотреть случай, когда Z является замкнутым подмногообразием нулей регулярной функции f на (негладком) аффинном многообразии Y. Требуется доказать, что функтор прямого образа является эквивалентностью между копроизводной категорией дискретных DG-модулей над комплексом Амицура аффинного многообразия Z и ядром функтора ограничения, действующего между копроизводными категориями дискретных DG-модулей над комплексами Амицура аффинных многообразий Y и Y∖Z.
Пусть M -- дискретный DG-модуль над приведенным пополненным комплексом Амицура C
Y аффинного многообразия Y. Предположим, что подлежащий градуированный C
Y-модуль DG-модуля M является инъективным объектом категории дискретных градуированных модулей над C
Y. Хотелось бы построить естественный выделенный треугольник локализации, разрезающий M на два прямых образа дискретных DG-модулей над комплексами Амицура многообразий Z и Y∖Z.
Заметим, что на комплексе M[f
−1] есть естественная структура дискретного DG-модуля над комплексом Амицура многообразия Y∖Z (а следовательно, и многообразия Y). Далее, подкомплекс N комплекса M, состоящий из всех коцепей, аннулируемых какими-то степенями элемента f, является его DG-подмодулем (сохраняется действием элементов комплекса Амицура). Наконец, пусть N
0 ⊂ N обозначает максимальный градуированный подмодуль градуированного модуля N над C
Y, аннулируемый элементами f и df; тогда N
0 является DG-подмодулем DG-модуля N над комплексом Амицура C
Y. Более того, DG-модуль N
0 над комплексом Амицура C
Y является прямым образом некоторого (однозначно определенного) дискретного DG-модуля над комплексом Амицура C
Z.
Все утверждения из предыдущего абзаца, конечно, еще не зависят от предположения инъективности градуированного C
Y-модуля M; однако теперь это предположение нам понадобится. Для построения искомого треугольника локализации достаточно проверить два утверждения:
1. отображение локализации M → M[f
−1] сюръективно; и
2. фактор-DG-модуль N/N
0 над комплексом Амицура C
Y коацикличен.
Я не думал еще толком, как доказывать первое. В следующем постинге будет зафиксирован набросок вычисления, в которое упирается попытка доказательства второго средствами, аналогичными вычислениям из статьи С.Р.