Лёня Посицельский's Journal
[Most Recent Entries]
[Calendar View]
Sunday, August 9th, 2015
| Time |
Event |
| 2:19p |
Стабилизация CDG-колец, или Читая Ленхарда Нг
Пусть B = (B,d,h) -- CDG-кольцо, и пусть m -- элемент его градуирующей группы (попросту говоря, целое число). Построим новое CDG-кольцо следующим образом: добавим к B две свободные ассоциативные образующие q и dq, степеней однородности m и m+1, соответственно, и продолжим дифференциал d с градуированного кольца B на кольцо B{q,dq} очевидными правилами d(q) = dq, d(dq) = [h,q]. Получится новое CDG-кольцо B{q,dq}.
CDG-модули (скажем, левые) M над B{q,dq} суть просто CDG-модули над B, снабженные дополнительным однородным оператором q: M → M степени m. Никаких условий согласования с дифференциалом или действием элементов из B на оператор q: M → M не накладывается; его суперкоммутатор с дифференциалом [d,q]: M → M определяет действие элемента dq ∈ B{q,dq}. Комплекс морфизмов левых CDG-модулей HomB{q,dq}(L,M) есть подкомплекс комплекса HomB(L,M), состоящий из всех B-линейных однородных отображений L → M, суперкоммутирующих с q и dq.
Для любого DG-кольца A = (A,d), вложение DG-колец A → A{q,dq} является квазиизоморфизмом, как нетрудно убедиться, предъявив явную стягивающую гомотопию. Для CDG-кольца B = (B,d,h), является ли вложение CDG-колец B → B{q,dq} ко- и/или контраэквивалентностью? | | 9:20p |
Производные расширения скаляров в CDG-модулях
Пусть f: A → B -- морфизм CDG-колец. Тогда DG-функтор ограничения скаляров Rf: B-mod → A-mod индуцирует триангулированные функторы между ко- и контрапроизводными категориями CDG-модулей IcoRf: Dco(B-mod) → Dco(A-mod) и IctrRf: Dctr(B-mod) → Dctr(A-mod).
Когда существуют функторы, сопряженные слева или справа к IcoRf и IctrRf ? На уровне DG-категорий или гомотопических категорий CDG-модулей, существуют оба функтора. Функтор расширения скаляров Ef, сопряженный слева к функтору Rf, сопоставляет CDG-модулю M над CDG-кольцом A CDG-модуль B ⊗A M над CDG-кольцом B. Функтор корасширения скаляров Ef, сопряженный справа к функтору Rf, сопоставляет CDG-модулю M над CDG-кольцом A CDG-модуль HomA(B,M) над CDG-кольцом B. Вопрос состоит, таким образом, в том, при каких условиях функторы расширения и/или корасширения скаляров имеют производные функторы, действующие между ко- или контрапроизводными категориями CDG-модулей над A и B.
Чтобы построить контрапроизводный функтор расширения скаляров LctrEf: Dctr(A-mod) → Dctr(B-mod), достаточно отождествить контрапроизводную категорию Dctr(A-mod) с гомотопической категорией градуированно-проективных CDG-модулей H0(A-modproj) и ограничить функтор Ef с H0(A-mod) на H0(A-modproj). Таким образом, левый контрапроизводный функтор расширения скаляров LctrEf существует всегда, когда контрапроизводная категория CDG-модулей над A эквивалентна гомотопической категории градуированно-проективных CDG-модулей (если пользоваться моим определением контрапроизводной категории) или вообще всегда (если пользоваться определением Х.Б.)
Чтобы построить контрапроизводный функтор корасширения скаляров RctrEf: Dctr(A-mod) → Dctr(B-mod), предположим, что градуированное кольцо B является проективным градуированным левым A-модулем. Тогда, как очевидно, функтор непроизводного корасширения скаляров Ef переводит контраацикличные CDG-модули над A (как в смысле моего определения, так и в смысле определения Х.Б.) в контраацикличные CDG-модули над B, так что имеется индуцированный триангулированный функтор, который, наверное, правильнее было бы обозначить через IctrEf: Dctr(A-mod) → Dctr(B-mod).
Аналогично, чтобы построить копроизводный функтор корасширения скаляров RcoEf: Dco(A-mod) → Dco(B-mod), достаточно отождествить копроизводную категорию Dco(A-mod) с гомотопической категорией градуированно-инъективных CDG-модулей H0(A-modinj) и ограничить функтор Ef с H0(A-mod) на H0(A-modinj). Таким образом, правый копроизводный функтор корасширения скаляров RcoEf существует всегда, когда копроизводная категория CDG-модулей над A эквивалентна гомотопической категории градуированно-инъективных CDG-модулей (если пользоваться моим определением копроизводной категории) или вообще всегда (если пользоваться определением Х.Б.)
Чтобы построить копроизводный функтор расширения скаляров LcoEf: Dco(A-mod) → Dco(B-mod), предположим, что градуированное кольцо B является плоскиым градуированным правым A-модулем. Тогда функтор непроизводного расширения скаляров Ef переводит коацикличные CDG-модули над A (как в смысле моего определения, так и в смысле определения Х.Б.) в коацикличные CDG-модули над B, так что имеется индуцированный триангулированный функтор, который, наверное, правильнее было бы обозначить через IcoEf: Dco(A-mod) → Dco(B-mod). |
|