Monday, August 10th, 2015

Time	Event
6:36p	Ко/контраэквивалентности топологических CDG-колец и лежандровы узлы Статья Lenhard Ng "Rational Symplectic Field Theory for Legendrian knots" http://www.math.duke.edu/~ng/math/papers/lsft.pdf , которую я давно собирался почитать (редкий пример хоть какой-то пользы от существования "престижных журналов" -- позволяют выделить заслуживающие отдельного внимания элементы в общем потоке работ, на меня ссылающихся -- вообще у меня была уже несколько месяцев назад идея просмотреть геометрические работы, использующие понятия CDG-кольца и т.п., и естественно было начать со статьи в Инвенционес (диссертацию Х.Б. я тоже полистал, кстати, она тоже про узлы, но другие и по-другому)) -- оказалась на удивление в тему моим нынешним размышлениям. Нг строит по лежандрову (касательному к стандартной контактной структуре) узлу в трехмерном пространстве (с точностью до эквивалентности, чуть более тонкой и, вероятно, менее интересной, чем лежандрова изотопия, но это технический недостаток, возможно, поправимый) -- топологическое CDG-кольцо, являющееся на самом деле конечно-порожденной свободной алгеброй над кольцом целых чисел, пополненной в адической топологии двустороннего идеала, порожденного частью образующих свободной алгебры, рассматриваемой как фильтрованное кольцо в адической фильтрации этого идеала и снабженной CDG-структурой с элементами кривизны и замены связности, лежащими в первой компоненте фильтрации. Эквивалентным преобразованиям лежандровых узлов соответствуют явные комбинаторные преобразования CDG-колец, сводящиеся, по существу, к заменам образующих/координат в пополненных свободных алгебрах, заменам связностей и преобразованиям "стабилизации" и обратной "дестабилизации", подобным описанному в предпредыдущем постинге http://posic.livejournal.com/1207673.html . Определив связанную с узлом CDG-алгебру, Нг оказывается перед вопросом, как построить по ней какой-то "ощутимый руками" гомологический инвариант, и предлагает перейти к циклическому факторпространству или коммутативной факторалгебре, на которых квадрат дифференциала уже зануляется, так что можно брать когомологии. Логично было попробовать связать с CDG-алгеброй производную категорию второго рода CDG-модулей над ней (или даже смешанную, первого рода по непополняемым образующим и второго рода по пополняемым, раз уж есть условие, что по модулю пополняемых образующих кривизна зануляется), и далее какие-нибудь гомологии или когомологии Хохшильда (первого рода DG-категории, или второго рода самой CDG-алгебры, и т.д.), но это, конечно, слишком сложная гомологическая алгебра для такой работы. В этом контексте, прежде всего возникают вопросы о неизменности этих инвариантов (триангулированных/DG-категорий, (ко)гомологий Хохшильда) при рассматриваемых комбинаторных преобразованиях CDG-алгебр. (Read Comments | Comment on this)
8:47p	Ко- и контраэквивалентности (топологических) CDG-колец - 4 В отсутствие по-настоящему эффективных подходов к получению ко- и контраэквивалентностей, похоже, что имеющиеся достаточные условия для таких эквивалентностей классифицируются по способу их доказательства на три очевидные категории. Чтобы доказать, что морфизм CDG-колец f: A → B является коэквивалентностью, можно (см. обозначения в постинге http://posic.livejournal.com/1208024.html ) аco) проверить, что существует копроизводный функтор расширения скаляров LcoEf или IcoEf, и обе композиции его с функтором IcoRf изоморфны тождественным функторам; или бco) проверить, что обе композции копроизводного функтора корасширения скаляров RcoEf с функтором IcoRb изоморфны тождественным функторам; или вco) проверить, что функтор ограничения скаляров IcoRf вполне строгий и его образ порождает категорию в таргете. Соответственно, чтобы доказать, что морфизм CDG-колец f является контраэквивалентностью, можно аctr) проверить, что существует контрапроизводный функтор корасширения скаляров RctrEf или IctrEf, и обе композиции его с функтором IctrRf изоморфны тождественным функторам; или бctr) проверить, что обе композции контрапроизводного функтора расширения скаляров LctrEf с функтором IctrRb изоморфны тождественным функторам. Перечисление в обоих случаях примерно в порядке увеличения, так сказать, мощности и сложности соответствующих достаточных условий, и в особенности, ослабления требований плоскости/проективности морфизма f, которые в них используются. Вариант вctr) не упоминается, поскольку мне, кажется, не удавалось понять, как он мог бы работать. Аргумент, который я начал записывать в постинге http://posic.livejournal.com/1202905.html -- это вco). Аргументы б) похожи на в) в том, что там и там используется (про)нетеровость/(про)артиновость и убывающие фильтрации на CDG-кольце, но отличается в том, что б) похож на теорему 4.8 из Two kinds of derived categories..., а вco) использует подход, разработанный первоначально по недоразумению для сюжета про некоммутативную теорию гомотопий из статьи про капиодинность и квазиформальность, а теперь включенный в виде раздела 1 в отрывок текста про ко- и контраэквивалентности http://positselski.narod.ru/equi-sec.pdf . О существовании аргументов а), в которых не используются в явном виде никакие фильтрации на CDG-кольцах, я догадался в последние пару дней, размышляя над тем, как можно было бы доказать, что "стабилизация Нг" (по непополняемым образующим) в смысле http://posic.livejournal.com/1207673.html приводит к ко/контраэквивалентному CDG-кольцу. (Read Comments | Comment on this)

<< Previous Day

2015/08/10 [Calendar]

Next Day >>