| 10:06a |
Прокогерентные кольца и fp-инъективные дискретные модули - 1
Пусть R = limn Rn -- прокогерентное слева топологическое кольцо. Для любого дискретного левого R-модуля M, обозначим через RnM максимальный R-подмодуль в M, структура R-модуля на котором происходит из структуры Rn-модуля.
Дискретный левый R-модуль J называется fp-инъективным, если функтор Hom в него сохраняет точность коротких точных последовательностей конечно-представимых дискретных левых R-модулей.
Лемма 1. Дискретный левый R-модуль J fp-инъективен тогда и только тогда, когда для любого n его подмодуль RnJ является fp-инъективным левым Rn-модулем.
Лемма 2. Функтор Hom из конечно-представимого дискретного левого R-модуля сохраняет точность коротких последовательностей fp-инъективных левых R-модулей. В частности, функтор J → RnJ точен на категории fp-инъективных дискретных левых R-модулей. |
| 5:36p |
Место категорий контрамодулей в рамках общей теории категорий
"Категории модулей = (приблизительно) = абелевы категории Гротендика с достаточным количеством проективных объектов"
Равенство, в самом деле, довольно приблизительное; точнее было бы сказать, что категории модулей -- это абелевы категории Гротендика, допускающие одну компактную проективную образующую. Когда есть множество компактных проективных образующих -- это категория модулей над "большим кольцом" ( = аддитивных функторов из какой-то (пред)аддитивной категории в абелевы группы). Не знаю, насколько в таком виде это уже буквально верно, или надо еще какие-то условия добавить; но похоже, что близко к верному.
"Категории контрамодулей = (приблизительно) = абелевы λ-гротендиковы категории с достаточным количеством проективных объектов"
Здесь λ -- какой-то (лучше предполагать, что регулярный) кардинал; λ-гротендикова категория -- это абелева категория с множеством образующих, в которой существуют все прямые пределы, и точны функторы λ-направленных прямых пределов. (В частности, абелева категория Гротендика в обычном смысле -- это абелева ω-гротендикова категория, где ω обозначает счетную мощность.)
Current mood: не зря съездил в Брно! |