| 10:14p |
Исчисление дополнительных классов объектов и морфизмов - 2
Пусть S -- множество объектов в локально представимой абелевой категории A. Обозначим через C класс всех объектов, ExtA1-ортогональных справа к объектам из S и через F класс всех объектов, аналогично ортогональных слева ко всем объектам из S. Обозначим также через Filt(S) класс всех прямых слагаемых трансфинитно-итерированных (в смысле направленного прямого предела в A, пусть даже и не точного ни в каком смысле) расширений объектов из S.
Далее, пусть λ -- такой регулярный кардинал, что категория A является λ-представимой и все объекты из S являются λ-представимыми. Обозначим через S-λ-mono класс всех мономорфизмов с коядрами из S и λ-представимыми объектами в таргете. Тогда справедливы следующие утверждения.
0. Класс Filt(S) содержится в классе F.
1. Класс морфизмов, обладающих правым свойством подъема по отношению ко всем морфизмам из S-λ-mono
- состоит из морфизмов с ядрами в C;
- содержит все эпиморфизмы с такими ядрами, т.е., класс C-epi;
- все морфизмы этого класса с объектами в таргете, представимыми в виде факторобъектов объектов из Filt(S), являются эпиморфизмами.
2. Класс морфизмов, обладающих левым свойством подъема по отношению ко всем морфизмам, обладающим правым свойством подъема по отношению ко всем морфизмам из S-λ-mono
- содержит все морфизмы из Filt(S)-mono;
- состоит из морфизмов с коядрами в F;
- все морфизмы этого класса с объектами в сорсе, являющимися подобъектами объектов из C, являются мономорфизмами.
Ввиду "рассуждения о малом объекте", из этих утверждений вытекает следующая
Теорема. 3) Всякий объект из A, который можно вложить в объект из C, можно вложить в объект из C так, чтобы коядро принадлежало F (и на самом деле, как видно из конструкции, даже Filt(S)).
4) Всякий объект из A, который можно представить в виде факторобъекта объекта из Filt(S), можно представить в виде факторобъекта объекта из F (и на самом деле, как видно из конструкции, даже из Filt(S)) по подобъекту, принадлежащему C.
В качестве следствия, отсюда получается
5) Всякий объект из F, который можно представить в виде факторобъекта объекта из Filt(S), принадлежит Filt(S). |
| 11:07p |
Покрытия и оболочки в локально представимых абелевых категориях
1. Пусть A -- локально представимая абелева категория и F -- класс объектов в A, замкнутый относительно направленных прямых пределов. Тогда если некоторый объект категории A имеет F-предпокрытие, то он имеет и F-покрытие.
2. Пусть A -- локально представимая абелева категория, F -- класс объектов в A, замкнутый относительно расширений (и направленных прямых пределов, но это будет следовать из более сильного условия ниже), и C -- класс всех объектов в A, ExtA1-ортогональных ко всем объектам из F. Предположим, что некоторый объект X ∈ A обладает тем свойством, что направленные прямые пределы в категории морфизмов из X в произвольные объекты A сохраняют класс мономорфизмов с коядром из F. Тогда если X можно вложить в объект из C так, чтобы факторобъект принадлежал F, то X имеет C-оболочку. |