Лёня Посицельский's Journal
[Most Recent Entries]
[Calendar View]
Tuesday, November 3rd, 2015
| Time |
Event |
| 7:28p |
R-мультипликативные системы - 3
Пусть, как раньше, R -- полное, отделимое топологическое ассоциативное кольцо с единицей, имеющее счетную базу окрестностей нуля, состоящую из открытых правых идеалов. Обозначим через A(R) предаддитивную категорию, объектами которой являются фактормодули R/I кольца R по его открытым правым идеалам, а морфизмами -- гомоморфизмы правых R-модулей R/I → R/J. Нетрудно заметить, что "левые R-мультипликативные системы" в смысле предыдущих двух постингов суть ни что иное, как левые A(R)-модули, т.е., другими словами, ковариантные аддитивные функторы из категории A(R) в абелевы группы. Нам понадобятся также правые R-мультипликативные системы (т.е., правые A(R)-модули, или контравариантные функторы из A(R) в абелевы группы).
Правой R-мультипликативной системой M называется правило, сопоставляющее каждому открытому правому идеалу I ⊂ R абелеву группу MI и каждому элементу r ∈ R и паре открытых правых идеалов I, J ⊂ R, таких что rI ⊂ J, отображение n(r,I,J): MJ → MI таким образом, что
- если rI ⊂ J и sI ⊂ J (для двух открытых правых идеалов I, J ⊂ R и двух элементов r, s ∈ R), то сумма отображений nM(r,I,J) + nM(s,I,J) равна nM(r+s,I,J)
- отображения nM(1,I,I) -- тождественные;
- если rI ⊂ J и sJ ⊂ K (для трех открытых правых идеалов I, J, K ⊂ R и двух элементов r, s ∈ R), то композиция nM(r,I,J)nM(s,J,K) равна nM(sr,I,K)
- группа MR, соответствующая единичному идеалу I = R ⊂ R, равна нулю.
В предположении первых трех условий, четвертое эквивалентно тому, что отображение nM(r,I,J) зануляется для всех r, принадлежащих J.
С правой R-мультипликативной системой M можно связать индуктивную систему (диаграмму) абелевых групп MI, индексированных частично упорядоченным множеством открытых правых идеалов в R с отношением включения; отображениями в проективной системе являются операторы nM(1,I,J). На индуктивном пределе indlimI MI правой R-мультипликативной системы M имеется естественная структура дискретного правого модуля над топологическим кольцом R. Наоборот, для любого правого R-модуля N подгруппы MI = N(I) элементов, аннулируемых идеалами I в N, образуют правую R-мультипликативную систему. Функтор системы аннулируемых подгрупп ann: discr-R → msys-R сопряжен справа к функтору индуктивного предела indlim: msys-R → discr-R. | | 10:12p |
Вопрос двадцатилетия
- Много ли людей на свете интересуются контрамодулями?
- Не знаю, но пишу про них пока что почти исключительно я один.
Я впервые узнал определение контрамодуля в библиотеке IAS весной 99 года. Осознание, что контрамодули играют важную роль в полубесконечной гомологической алгебре, пришло летом 2000 года. Первые нетривиальные (не решаемые с ходу) задачи про контрамодули появились у меня летом 2002 года, решения их -- в 2006-07 годах. Первые мои работы (на самом деле, это были книги), в заглавиях которых упоминаются контрамодули, вышли из печати в 2010-11 годах. В 2012 году на свет появились контрагерентные копучки (на написание 250-страничного препринта про которые ушла большая часть двух последующих лет).
Теперь на дворе ноябрь 2015; я пишу в этом ЖЖ постинги, имеющие прямое отношение к некоторым открытым вопросам о контрамодулях, сформулированным в монографии 2010 года. Соображения эти нужны мне для того, чтобы сформулировать в естественной общности некоторые результаты о плоских контрамодулях, призванные служить примерами к общему теоретико-категорному сюжету о теориях кокручения в локально представимых абелевых категориях, про который мы сейчас пишем совместную работу.
Конечно, я думаю и пишу не только о контрамодулях (например, у меня есть такая прекрасная тематика, как мотивы с конечными коэффициентами, в которой мои работы привлекают еще даже меньше внимания, чем то, что я о контрамодулях пишу). Но в общем и в целом получается что: весной 99 года мне было 26 лет. Этой осенью уже 42 с половиной. Сколько-то лет еще пройдет, пока на вопрос "много ли людей на свете ..." появится какой-нибудь более положительный ответ. Ничего себе такой способ "делать карьеру в академии", да?
Впрочем, не все так плохо. Один израильский математик писал мне этой весной, что интересуется контрамодулями. Теперь вот у меня будет про них совместная работа с Й.Р., после того, как я провел полтора месяца с небольшим в Брно. Лиха беда начало. | | 11:14p |
R-мультипликативные системы - 4
Терминология и конструкции в куске текста ниже (вставленного теперь) разделителя во втором постинге этой серии представляются сейчас не вполне удачными. Правильнее будет говорить так.
Функтор тензорного произведения правых и левых мультипликативных R-систем (M,L) → M ⊗A(R) L, принимающий значения в категории абелевых групп, получается как частный случай известной конструкции тензорного произведения правых и левых модулей над "большим кольцом" (контравариантных и ковариантных аддитивных функторов в абелевы группы из фиксированной предаддитивной категории). Левая/правая мультипликативная R-система называется плоской, если функтор тензорного произведения с ней точен на категории правых/левых мультипликативных R-систем.
Ключевую техническую роль играет следующая
Основная лемма. Ядро сюръективного отображения из строгой левой R-мультипликативной системы в плоскую строгую левую R-мультипликативную систему является строгой левой R-мультипликативной системой.
Следствие (из основной леммы). Ядро сюръективного отображения между плоскими строгими левыми R-мультипликативными системами является плоской строгой левой R-мультипликативной системой.
Доказательство следствия. В самом деле, ядро сюръективного отображения плоских левых мультипликативных систем является плоской левой мультипликативной системой -- это частный случай аналогичного утверждения для плоских модулей над любым "большим кольцом", которое доказывается так же, как такое же утверждение для плоских модулей над обычным кольцом (по существу, используется факт существования достаточного количества плоских правых мультипликативных систем).
Доказательство основной леммы следует ниже.
Лемма 1. Для любой правой R-мультипликативной системы M и любого левого R-контрамодуля P имеется естественный изоморфизм абелевых групп indlim(M) ⊙R P = M ⊗A(R) red(P).
Доказательство: естественное отображение слева направо легко строится. Чтобы показать, что оно является изоморфизмом, можно рассмотреть двойственную левую R-мультипликативную систему IMv = (MI)v = HomZ(MI,Q/Z) и использовать изоморфизм сопряжения HomA(R)(red(P), Mv) = HomR(P, projlim Mv).
Лемма 2. Строгая левая R-мультипликативная система L является плоской тогда и только тогда, когда функтор N → N ⊙R projlim(L) точен на категории дискретных правых R-модулей.
Доказательство: функтор indlim точен, и всякая короткая точная последовательность дискретных правых R-модулей может быть получена применением этого функтора к некоторой короткой точной последовательности правых R-мультипликативных систем (как следует из пункта (1) леммы из третьего постинга этой серии). Ввиду этого наблюдения, искомое утверждение следует из леммы 1 выше и леммы 1(2) из второго постинга этой серии.
(Продолжение следует.) |
|