Лёня Посицельский's Journal
[Most Recent Entries]
[Calendar View]
Wednesday, November 4th, 2015
| Time |
Event |
| 4:11p |
Аддитивные копучки и плоские контрамодули
Подумав еще немного, представляется, что без мультипликативных систем, пожалуй, что и можно обойтись.
Пусть A -- локально λ-представимая абелева категория. Зафиксируем кардинал λ, и обозначим через Fun(A) категорию всех ковариантных аддитивных функторов из категории A в категорию абелевых групп, сохраняющих λ-направленные прямые пределы (на самом деле, условие это нам здесь нужно только для того, чтобы Fun(A) не оказалась "слишком большой" категорией, в которой морфизмы между двумя фиксированными объектами образуют класс). Обозначим через CoF(A) ⊂ Fun(A) полную подкатегорию в Fun(A), состоящую из функторов, сохраняющих все прямые пределы, и через ExCoF(A) ⊂ CoF(A) полную подкатегорию в CoF(A), состоящую из точных функторов (т.е., функторов, сохраняющих не только все прямые пределы, но и конечные обратные).
Категория Fun(A) является абелевой категорией, в которой короткая последовательность функторов 0 → F → G → H → 0 точна тогда и только тогда, когда для любого объекта N ∈ A короткая последовательность абелевых групп 0 → F(N) → G(N) → H(N) → 0 точна.
В контексте "аддитивной теории копучков", категория Fun(A) мыслится, как категория копредпучков, ее полная подкатегория CoF(A) -- как категория копучков, а ее полная подкатегория ExCoF(A) -- как категория ковялых копучков.
Лемма 1. Пусть 0 → F → G → H → 0 -- короткая точная последовательность в категории Fun(A). Тогда
(1) если функтор H принадлежит ExCoF(A), а функтор G принадлежит CoF(A), то функтор F принадлежит CoF(A);
(2) если функторы H и G принадлежат ExCoF(A), то и функтор F тоже принадлежит ExCoF(A).
Доказательство: ядро (как и коядро) любого морфизма функторов, сохраняющих направленные прямые пределы, тоже сохраняет направленные прямые пределы, так что достаточно проверить условия сохранения ядер и коядер. Теперь остается заметить, что ядро сюръективного морфизма из короткой точной справа последовательности абелевых групп в короткую точную последовательность является короткой точной справа последовательностью, и ядро сюръективного морфизма точных последовательностей является точной последовательностью.
Пусть R -- полное, отделимое топологическое кольцо со счетной базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов. Нас будут интересовать ковариантные аддитивные функторы на абелевой категории Гротендика дискретных правых R-модулей discr-R. В частности, с каждым левым R-контрамодулем
P связан функтор контратензорного произведения N → N ⊙R P, который мы будем обозначать через CT(P) ∈ Fun(discr-R).
Наоборот, для любого функтора F ∈ Fun(discr-R) на проективном пределе pl(F) = projlimI F(R/I), где I пробегает все открытые правые идеалы I ⊂ R и проективный предел берется по отображениям F(R/I) → F(R/J), полученным применением функтора F к отображениям проекции R/I → R/J для всех пар вложенных идеалов I ⊂ J, имеется естественная структура левого R-контрамодуля. Для любой последовательности элементов ri ∈ R, сходящейся к нулю в топологии R, и любой последовательности элементов pi ∈ projlimI F(R/I), бесконечная сумма ∑i ripi определяется как элемент проективного предела, компонента которого, принадлежащая группе F(R/I), равна сумме по всем ri, не принадлежащим I, образов компонент элементов pi в группах F(R/Ji) при отображениях F(ri): F(R/Ji) → F(R/I), где Ji ⊂ R обозначает открытый правый идеал, равный полному прообразу правого идеала I ⊂ R при отображении левого умножения ri: R → R.
Функтор "функтора контратензорного произведения" CT: R-contra → Fun(discr-R) сопряжен слева к функтору проективного предела pl: Fun(R-discr) → R-contra.
Лемма 2. (1) Для любого R-контрамодуля P, функтор TP принадлежит CoF(discr-R);
(2) Для любого функтора F ∈ CoF(discr-R), отображение сопряжения CT(pl(F)) → F является изоморфизмом в категории функторов Fun(discr-R).
R-контрамодуль P называется отделимым, если пересечение его подконтрамодулей I×P по всем открытым правым идеалам I ⊂ R равно нулю.
Лемма 3. (1) Для любого функтора F ∈ Fun(discr-R), левый R-контрамодуль projlim(L) отделим.
(2) Для любого левого R-контрамодуля P, морфизм сопряжения P → pl(CT(P)) сюръективен.
(3) Левый R-контрамодуль P отделим тогда и только тогда, когда морфизм сопряжения P → pl(CT(P)) является изоморфизмом.
Следствие. Функторы pl и CT являются взаимно-обратными эквивалентностями между полной подкатегорией CoF(discr-R) ⊂ Fun(discr-R) и полной подкатегорией отделимых R-контрамодулей в R-contra.
Контрпример: сравнив коядро ядра и ядро коядра извесного гомоморфизма с диагональной матрицей (1, p, p2, ...) из свободного Zp-контрамодуля со счетным множеством образующих в себя, можно убедиться, что категория отделимых Zp-контрамодулей -- а значит, и эквивалентная ей категория сохраняющих прямые пределы ковариантных аддитивных функторов в категорию абелевых групп на категории p-примарных абелевых групп Zp-discr -- не абелева. | | 6:06p |
Аддитивные копучки и плоские контрамодули - 2
Напомним, что левый R-контрамодуль P называется (контра)плоским, если функтор контратензорного произведения N → N ⊙R P точен на категории дискретных правых R-модулей. Другими словами, левый R-контрамодуль P плоский, если функтор CT(P) ∈ Fun(discr-R) принадлежит полной подкатегории ExCoF(discr-R) ⊂ Fun(discr-R).
Основная лемма. Пусть 0 → S → Q → P → 0 -- короткая точная последовательность левых R-контрамодулей. Допустим, что R-контрамодуль Q отделимый, а R-контрамодуль P отделимый и плоский. Тогда для любого дискретного правого R-модуля N короткая последовательность абелевых групп 0 → N ⊙R S → N ⊙R Q → N ⊙R P → 0 точна.
Доказательство: положим H = CT(P), G = CT(Q) и F = CT(S); тогда (например, хотя бы уже потому, что функтор N ⊙R −: R-contra → Ab сопряжен слева к функтору HomZ(N,−): Ab → R-contra, и следовательно, сохраняет прямые пределы) имеется точная последовательность F → G → H → 0 в категории Fun(discr-R). Обозначим через F' ядро морфизма G → H в категории Fun(discr-R); тогда имеется естественный морфизм функторов F → F'.
Функтор H принадлежит подкатегории ExCoF(discr-R) ⊂ Fun(discr-R), а функтор G -- подкатегории CoF(discr-R) (см. лемму 2(1) из предыдущего постинга); так что, согласно лемме 1(1) из предыдущего постинга, функтор F' принадлежит CoF(discr-R). В частности, морфизмы F'(R/I) → F'(R/J) сюръективны для всех пар вложенных идеалов I ⊂ J ⊂ R. Переходя к проективному пределу, получаем короткую точную последовательность R-контрамодулей 0 → pl(F') → pl(G) → pl(H) → 0.
Теперь R-контрамодуль S, будучи подконтрамодулем отделимого R-контрамодуля, тоже отделим, так что морфизмы сопряжения S → pl(F), Q → pl(G) и P → pl(H) являются изоморфизмами R-контрамодулей (см. лемму 3(3) из предыдущего постинга). Мы показали, что морфизм pl(F) → pl(F') является изоморфизмом R-контрамодулей. Поскольку оба функтора F и F' принадлежат CoF(discr-R), согласно лемме 2(2) (или следствию) из предыдущего постинга, отсюда следует, что морфизм функторов F → F' изоморфизм. Основная лемма доказана.
Следствие 1 (из основной леммы). Ядро сюръективного морфизма плоских отделимых левых R-контрамодулей является плоским отделимым левым R-контрамодулем.
Доказательство: см. лемму 1(2) из предыдущего постинга.
Следствие 2 (из основной леммы, применяемой в условиях следствия 1). Пусть 0 → S → Q → P → 0 -- короткая точная последовательность левых R-контрамодулей. Тогда если R-контрамодуль S отделимый, а R-контрамодуль P отделимый и плоский, то и R-контрамодуль Q отделим.
Доказательство: см. доказательство леммы D.1.5 в последней версии контрагерентного препринта.
Альтернативным образом, чтобы доказать следствие 2, достаточно избавиться от предположения отделимости контрамодуля Q в основной лемме. Это можно сделать, определив и вычислив производный функтор функтора контратензорного произведения с помощью свободных резольвент контрамодульного аргумента, и показав, с помощью (следствия 1 и) основной леммы (применяемой в условиях следствия 1), что этот функтор зануляется на плоских отделимых R-контрамодулях.
Следствие 3 (из следствия 2). Расширение двух плоских отделимых левых R-контрамодулей является плоским отделимым левым R-контрамодулем.
Доказательство: см. лемму 1(3) из предыдущего постинга. |
|