И еще раз о контрамодульной лемме Накаямы В развитие постинга
http://posic.livejournal.com/1228377.htmlВот еще одна формулировка контрамодульной леммы Накаямы, неожиданным образом не вытекающая из формулировки в постинге по ссылке, но требующая чуть более сложного доказательства.
Пусть R -- полное отделимое топологическое кольцо со счетной базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов, и пусть J
1, J
2, … -- последовательность замкнутых правых идеалов (или даже просто замкнутых абелевых подгрупп) в R, сходящаяся к нулю в топологии R (т.е., для любая окрестность нуля в R содержит все, кроме конечного числа, идеалы J
n). Пусть P -- левый R-контрамодуль. Тогда если отображения J
n[[P]] → P сюръективны для всех n, то P = 0.
Дело в том, что поскольку идеалы J
n не двусторонние, а только правые, из того, что их последовательность сходится к нулю, нельзя вывести, что последовательность произведений J
1, J
1J
2, J
1J
2J
3, … сходится к нулю в топологии R. Поэтому нужно другое доказательство, или скорее, более деликатный вариант того же доказательства.
Пусть p ∈ P -- произвольный элемент. Выберем последовательность вложенных правых идеалов R ⊃ U
1 ⊃ U
2 ⊃ U
3 ⊃ …, образующих базу окрестностей нуля в R. Пусть n
1 -- такое натуральное число, что J
n1 ⊂ U
1, и пусть p
1 ∈ J
n1[[P]] -- бесконечная формальная линейная комбинация элементов контрамодуля P со сходящейся к нулю в топологии кольца R последовательностью коэффициентов, принадлежащих J
n1, образ которой при отображении контрадействия равен p ∈ P.
(Продолжение следует.)