Add(M) и проективные контрамодули - 2 Для любого объекта M в аддитивной категории A с произвольными прямыми суммами, обозначим через Add(M) полную подкатегорию в A, состоящую из всех прямых слагаемых прямых сумм копий объекта M.
Теорема. Пусть A -- локально слабо конечно-порожденная абелева категория и M -- произвольный объект в A. Тогда аддитивная категория Add(M) эквивалентна аддитивной категории проективных левых контрамодулей над топологическим кольцом R (построенным в первом постинге этой серии
http://posic.livejournal.com/1259548.html ).
Доказательство: ввиду изложения во введении к 1512.08119, нужно показать, что монада T(S) = A(M, M
(S)) на категории множеств изоморфна монаде, связанной с топологическим кольцом R. Естественные отображения из прямых сумм в прямые произведения M
(S) → M
S являются мономорфизмами в категории A согласно предыдущему постингу, так что отображения множеств T(S) → ∏
s∈S T({s}) инъективны.
Опишем образ этого отображения. Если морфизм M → M
S факторизуется через M
(S), то для любого слабо конечно-порожденного подобъекта E ⊂ M композиция E → M
S факторизуется через вложение M
U → M
S для некоторого конечного подмножества U ⊂ S. Обратно, пусть M → M
S -- отображение, обладающее таким свойством по отношению ко всем слабо конечно-порожденным подобъектам E в M. Тогда композиция ⊕
E E → M → M
S факторизуется через вложение M
(S) → M
S, и поскольку ⊕
E E → M -- эпиморфизм, так же факторизуется и отображение M → M
S.
Мы показали, что T(S) как подмножество в ∏
s∈S T({s}) состоит из всех тех семейств элементов кольца R = Т({*}), индексированных множеством S, которые сходятся к нулю в топологии R. Наконец, совсем нетрудно видеть, что отображение суммирования Σ
S: T(S) → R, индуцированное естественным отображением M
(S) → M, есть отображение суммирования сходящихся к нулю семейств элементов в топологии кольца R. Теорема доказана.
(Ср. с доказательством теоремы в последнем разделе 3.6 обзорного препринта "Contramodules".)