| 5:15p |
Критерий зануления элемента тензорного произведения
Век живи, век учись: оказывается, настоящим суровым алгебраистам известен критерий обращения в ноль элемента тензорного произведения двух модулей над ассоциативным кольцом. Вот он, этот критерий.
Пусть N -- правый R-модуль с образующими (не свободными, просто какими-то образующими элементами) ni, и пусть M -- левый R-модуль с образующими (тоже не свободными, просто какими-то образующими) mj. Пусть t -- элемент группы N ⊗R M, записанный в виде ∑i ni ⊗ vi, где vi -- какие-то элементы модуля M, причем все из них, кроме конечного числа, равны нулю. Тогда t = 0 в N ⊗R M тогда и только тогда, когда существуют элементы аij кольца R, все из которых, кроме конечного числа, равны нулю, такие что vi = ∑j aij mj в M для всех i и ∑j ni aij = 0 в N для всех j.
Доказательство (оно требует немного подумать насчет логики построения подобного аргумента, но в конечном итоге достаточно прямолинейно) предоставляется читателю. |