Лёня Посицельский's Journal

Все категории контрамодулей являются категориями контрамодулей над топологическими кольцами - 3
Продолжение постингов http://posic.livejournal.com/1282785.html и http://posic.livejournal.com/1282892.html

Лемма 1. Пусть A -- ассоциативное кольцо и С -- коассоциативное кокольцо с коединицей над кольцом A. Тогда забывающий функтор C-comod → A-mod удовлетворяет усвовиям 1)-4) леммы 1 из постинга по второй ссылке выше (так что для любого левого C-комодуля M категория Add(M) эквивалентна категории проективных контрамодулей над подходящим топологическим кольцом).

Доказательство: ни коединица, ни коассоциативность кокольца C роли не играют, как не играет ее и условие коассоциативности рассматриваемых комодулей. Пусть C -- произвольный A-A-бимодуль; обозначим через С-ncomod категорию левых A-модулей M, снабженных произвольным гомоморфизмом левых A-модулей M → C ⊗_A M. Тогда забывающий функтор C-ncomod → A-mod удовлетворяет условиям 1)-4).

В самом деле, условия 1)-3) очевидны. Чтобы проверить 4), достаточно заметить, что для любого (неассоциативного) комодуля K ∈ C-ncomod и любого элемента x ∈ K найдется конечное множество элементов y₁, …, y_n ∈ K, таких что образ элемента x при отображении кодействия K → C ⊗_A K записывается в виде ∑_i=1ⁿ c_i ⊗ y_i, где c_i -- какие-то элементы из C.

Пусть теперь K и L -- два объекта C-ncomod, и пусть g: K → L -- гомоморфизм левых A-модулей между ними. Предположим, что для любого элемента x ∈ K и соответствующих элементов y₁, …, y_n ∈ K найдется морфизм h: K → L в категории C-ncomod, такой что g(x) = h(x) и g(y_i) = h(y_i) для всех i. Тогда в диаграмме, записывающей уравнение совместимости отображения g с левыми C-кодействиями на K и L образы элемента x при двух способах пройти по стрелкам в квадрате совпадают, поскольку они совпадают с его образами при двух способах пройти по стрелкам в аналогичной диаграмме, связанной с отображением h (которые совпадают между собой по предположению). Поэтому g является морфизмом в категории C-ncomod.

Лемма 2. Пусть A -- ассоциативное кольцо, C -- коассоциативное кокольцо над A и S -- C-C-бикомодуль. Обозначим через S-nsimod категорию (обычных коассоциативных коунитальных) левых C-комодулей M, снабженных произвольным морфизмом левых C-комодулей S □_C M → M. Тогда забывающий функтор S-nsimod → A-mod удовлетворяет условиям 1)-4).

Доказательство похоже на доказательство леммы 1. Условия 1)-3) очевидны. Чтобы проверить 4), заметим, что для любого объекта K ∈ S-nsimod и любого элемента p ∈ S □_C K найдется конечное множество элементов y₁, …, y_n ∈ K, таких что образ элемента p при естественном вложении S □_C K → S ⊗_A K записывается в виде ∑_i=1ⁿ s_i ⊗ y_i, где s_i -- какие-то элементы из S.

Пусть теперь K и L -- два объекта S-nsimod, и пусть g: K → L -- гомоморфизм левых A-модулей между ними. Согласно лемме 1, в предположениях условия 4) мы уже знаем, что g -- морфизм левых C-комодулей. Пусть p -- произвольный элемент из S □_C K, и пусть y₁, …, y_n ∈ K -- соответствующие элементы. Обозначим через z образ элемента p при отображении неассоциативного полудействия S □_C K → K.

Предположим, что для элементов y₁, …, y_n и z ∈ K найдется морфизм h: K → L в категории S-nsimod, такой что g(y_i) = h(y_i) для всех i и g(z) = h(z). Тогда в диаграмме, записывающей уравнение совместимости отображения g с левыми S-полудействиями на K и L образы элемента p при двух способах пройти по стрелкам в квадрате совпадают, поскольку они совпадают с его образами при двух способах пройти по стрелкам в аналогичной диаграмме, связанной с отображением h (которые совпадают между собой по предположению). Если это выполнено для всех p, то g является морфизмом в категории S-nsimod.