| 8:58p |
От общего к частному и обратно
Частным случаем контрамодуля над коалгеброй является контрамодуль над коалгеброй, двойственной к алгебре формальных степенных рядов от одной переменной. Аналогом предыдущего является контрамодуль над кольцом целых p-адических чисел. Обобщением предыдущего является левый контрамодуль над топологическим ассоциативным кольцом с базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов.
Частным случаем предыдущего является контрамодуль над проартиновым топологическим локальным коммутативным кольцом. Частным случаем предыдущего явлется контрамодуль над полным нетеровым коммутативным локальным кольцом. Обобщением предыдущего является контрамодуль над нетеровым коммутативным кольцом в адической топологии идеала.
Обобщением предыдущего является контрамодуль над произвольным коммутативным кольцом в адической топологии конечно-порожденного идеала. Частным случаем предыдущего является контрамодуль над коммутативным кольцом в адической топологии главного идеала. Обобщением предыдущего является контрамодуль над коммутативным кольцом с мультипликативным подмножеством.
Вы прослушали краткую историю моих математических занятий за последние пятнадцать лет. Поводом к ее публикации стало то, что сейчас, кажется, наклевывается очередной переход в этой цепочке (некое обобщение...) |
| 11:18p |
Контрамодули и делимые модули над конечно-порожденными идеалами
Пусть R -- коммутативное кольцо и I ⊂ R -- конечно-порожденный идеал в R. R-модуль D называется I-делимым, если R/I ⊗R D = 0 (т.е., попросту, ID = D). R-модуль C называется I-контрамодулем, если он является s-контрамодулем для всех s ∈ I (достаточно проверить это условие для любого множества образующих I, или даже для любого множества образующих какого-нибудь идеала в R, радикал которого содержит I).
Интересующая нас лемма -- это вариант леммы 4.2 из статьи Contraadjusted modules, contramodules, ... (Moscow Math. J. 2017). Доказательство ниже альтернативно доказательству, намеченному в статье.
Лемма. Если R-модуль D I-делим, а R-модуль C является I-контрамодулем, то HomR(D,C) = 0.
Доказательство. Заметим, что пересечение любого семейства подмодулей C, являющихся I-контрамодулями -- тоже I-контрамодуль (потому, что пересечение подмодулей -- это ядро морфизма в произведение фактормодулей, а класс всех I-контрамодульных R-модулей замкнут относительно ядер, коядер и произведений).
Пусть f: D → C -- R-модульный морфизм. Обозначим через C' ⊂ C пересечение всех I-контрамодульных подмодулей C, содержащих im(f). Тогда C' -- тоже I-контрамодульный R-модуль, и мы имеем R-модульный морфизм f': D → C'.
Подлемма (I-контрамодульная лемма Накаямы). Для любого ненулевого I-контрамодульного R-модуля K, его фактор(контра)модуль K/IK тоже ненулевой.
Доказательство подлеммы: пусть s1, ..., sm -- какое-нибудь множество образующих идеала I. Тогда из того, что K -- ненулевой sm-контрамодуль, следует, что R-модуль K/smK ненулевой. Этот R-модуль является контрамодулем для идеала, порожденного s1, ..., sm−1 в R (и даже для идеала I, конечно, тоже, но это нам уже не нужно), и остается использовать индукцию по m.
Теперь мы можем закончить доказательство леммы. Рассмотрим композицию морфизмов D → C' → C'/IC'. Имеем HomR(D,B) = HomR(D/ID,B) = 0 для любого R/I-модуля B. Поэтому композиция наших двух морфизмов равна нулю, т.е., образ морфизма f' содержится в IC'. Но IC' является I-контрамодулем как ядро морфизма I-контрамодулей C' → C'/IC' (любой R/I-модуль является I-контрамодулем, разумеется). Поскольку C' не имеет собственных I-контрамодульных R-подмодулей, содержащих образ f', отсюда следует, что IC' = C'. Согласно подлемме, мы заключаем, что C' = 0, откуда f' = 0 и f = 0. |