| 10:22p |
Модуль с совершенным разложением, но не сигма-чисто-расщепимый
Придумал во время вечерней прогулки контрпример, теперь записываю. Это пример правого модуля F над кольцом R со следующими свойствами:
0. R является алгеброй над полем k;
1. F является модулем Шура над алгеброй R, т.е., у F нет R-линейных эндоморфизмов, помимо умножений на скаляры из k;
2. R-модуль F плоский;
3. R-модуль F содержит в качестве собственного подмодуля ненулевой плоский (на самом деле, даже проективный) R-модуль P, причем фактормодуль F/P -- тоже плоский R-модуль.
Из условий 1 и 3 следует, что P не является прямым слагаемым в F. Таким образом, R-модуль F имеет совершенное разложение (= разложение в прямую сумму локально T-нильпотентного семейства модулей), состоящее из единственного прямого слагаемого F. Но в то же время, R-модуль F не сигма-чисто-расщепим (и даже не чисто-расщепим), т.к. он содержит чистый подмодуль P, который не отщепляется.
Конструкция состоит из двух шагов.
Шаг I. Рассмотрим следующую категорию представлений бесконечного колчана с соотношениями. Вершины колчана занумерованы неотрицательными целыми числами 0, 1, 2, ... Представлением колчана является последовательность k-векторных пространств V0, V1, V2, ... вместе с линейными отображениями fi: Vi−1 → Vi и pi: Vi → V0, где i > 0, удовлетворяющими соотношениям pififi−1...f2f1 = idV0 для всех i > 0.
Очевидно, существует "большое кольцо" (= предаддитивная малая категория) A с объектами, занумерованными неотрицательными целыми числами, такое что представления нашего колчана суть в точности левые A-модули (= ковариантные k-линейные функторы из A в k-векторные пространства). Наша ближайшая цель -- построить некоторый плоский правый A-модуль G и в нем проективный правый A-подмодуль Q, такой что фактормодуль G/Q тоже плоский.
Каждый правый A-модуль N задает функтор тензорного произведения M → N ⊗A M на категории левых A-модулей. Это соответствие интерпретирует категорию правых A-модулей как полную подкатегорию в категории k-линейных функторов из левых A-модулей в k-векторные пространства, состоящую в точности из всех функторов, сохраняющих копределы. Чтобы построить правые A-модули G и Q, мы просто укажем соответствующие функторы из левых A-модулей (= представлений нашего колчана) в векторные пространства.
Правый А-модуль G соответствует функтору, сопоставляющему всякому представлению нашего колчана (Vi) такое векторное пространство -- прямой предел последовательности V0 → V1 → V2 → ... с отображениями fi. Этот функтор точен, поэтому правый A-модуль G плоский.
Правый A-модуль Q соответствует функтору, сопоставлющему всякому представлению (Vi) векторное пространство V0. Очевидно, Q -- это свободный правый A-модуль с одной образующей, сидящей в вершине номер 0.
Естественное отображение из пространства V0 в прямой предел последовательности (Vi) соответствует морфизму правых А-модулей Q → G. Теперь мы замечаем, что отображение векторных пространств, о котором идет речь -- всегда инъективно (для любого представления нашего колчана с соотношениями). Дело в том, что отображение fifi−1...f2f1: V0 → Vi всегда инъективно, поскольку является сечением отображения pi: Vi → V0.
Морфизм модулей, индуцирующий мономорфизм функторов тензорного умножения на эти модули -- является, по определению, чистым мономорфизмом. Поскольку модуль G плоский, отсюда следует, что модуль G/Q плоский тоже.
Теперь нужно проверить самое нетривиальное свойство -- что у правого A-модуля G нет автоморфизмов, кроме умножений на скаляры. Для этого достаточно убедиться в том, что автоморфизмов, отличающихся от умножений на скаляры, нет у функтора, сопоставляющего представлению колчана прямой предел пространств Vi. Для этого можно, например, сосчитать пространство естественных преобразований Vn → indlimi Vi для каждого n, а потом перейти к проективному пределу по n.
Суть дела в том, что мы специально НЕ наложили на представления нашего колчана соотношения коммутативности треугольных диаграмм: композиция pi+1fi+1 не равна отображению pi (при i > 0). Поэтому пространство естественных преобразований Vn → indlimi Vi бесконечномерно (со счетным базисом) для всех n > 0, но после перехода к проективному пределу по n от всего этого богатства остается только одномерное пространство скаляров.
Чтобы попасть из Vn в прямой предел Vi, можно пройти по отображениям f из Vn в VN для какого-то N ≥ n, вернуться в V0 по отображению pN, и дальше есть каноническое отображение из V0 в прямой предел. Все эти отображения разные (линейно независимые, вообще говоря) при разных N, и все они исчезают после перехода к проективному пределу по n → ∞. Остается только элемент проективного предела по n, составленный из канонических отображений из Vn в прямой предел.
Шаг II. Всякой "большой алгебре" (= k-линейной малой категории) А сопоставляется k-алгебра R следующим образом: берется прямая сумма векторных пространств Ai,j по индексам i, j, пробегающим все объекты A. В тривиальном случае, когда в A только конечное число ненулевых объектов, этого достаточно. В интересном же случае, когда в A бесконечно много ненулевых объектов, так получается ассоциативная k-алгебра без единицы. Нужно формально добавить к ней единицу (взяв прямую сумму с одномерным k-векторным пространством, натянутым на добавляемую единицу).
Далее, всякому (скажем, правому) A-модулю N сопоставляется (тоже правый) R-модуль, равный прямой сумме пространств Ni по всем объектам i категории A. Это вполне строгий, точный функтор mod-A → mod-R, сохраняющий копределы.
Наконец, нужно заметить, что наш функтор mod-A → mod-R переводит свободный модуль с одной образующей, сидящей в произвольном объекте категории A, в проективный R-модуль (прямое слагаемое свободного R-модуля с одной образующей). Ввиду теоремы Говорова-Лазара (сохраняющей силу для модулей над "большими кольцами"), отсюда следует, что наш функтор переводит плоские A-модули в плоские R-модули.
Остается применить функтор mod-A → mod-R к А-модулю G с подмодулем Q, чтобы получить искомый R-модуль F с подмодулем P. |