Topologically semisimple and topologically perfect topological rings https://arxiv.org/abs/1909.12203Можно сказать, что эта статья, появившаяся теперь на Архиве -- часть серии из трех работ про приложения контрамодулей к гипотезе Енокса. Хронологически она последняя, третья -- но логически вторая. Первая и третья статьи серии (с другими коллективами авторов) были обнародованы в июле --
https://arxiv.org/abs/1807.10671 ,
https://arxiv.org/abs/1907.05537С другой стороны, можно сказать, что эта имеющая совершенно самостоятельное значение работа поднимает три сюжета: 1. топологическое/контрамодульное обобщение классической теории ассоциативных колец, начиная с теоремы Веддербёрна-Артина и продолжая диссертацией Басса, 2. топологическая интерпретация современных результатов теории разложения модулей в бесконечные прямые суммы, и 3. линейные топологии на аддитивных категориях.
Скажем, есть знаменитая теорема Говорова-Лазара о плоских модулях: модуль над ассоциативным кольцом плоский тогда и только тогда, когда он является направленным прямым пределом проективных модулей (или даже конечно-порожденных свободных модулей). В теории контрамодулей над топологическими кольцами, есть понятие плоского контрамодуля -- это такой, контратензорное произведение с которым является точным функтором на категории дискретных модулей.
Верен ли аналог теоремы Говорова-Лазара для контрамодулей, науке неизвестно. Легко видеть, что направленные прямые пределы проективных контрамодулей плоски, но обратная импликация -- открытый вопрос. Однако в этой только что обнародованной статье доказывается следующее: если над каким-то топологическим кольцом все направленные прямые пределы проективных контрамодулей проективны, то и все вообще плоские контрамодули проективны. Более того, дается полное описание таких топологических колец.
С другой стороны, обсуждается связь между понятиями полупростой и расщепимой абелевой категории: расщепимая -- это в которой все короткие точные последовательности расщепимы, а полупростая (более сильное условие) -- это в которой все объекты являются прямыми суммами неприводимых. Доказывается, что если расщепимая абелева категория топологизируема, то она полупроста.
Оба результата, сформулированные в предыдущих двух абзацах, являются неожиданными примерами "обратных приложений": их доказательства основаны на продвинутых результатах современной теории разложения модулей в бесконечные прямые суммы. Обычно хочется, чтобы новые понятия позволяли решать открытые проблемы старых теорий, но тут старая теория позволяет доказывать красивые теоремы про новые понятия.
"Прямые приложения" (новые, по-видимому, результаты теории разложения модулей в бесконечные прямые суммы, доказанные с помощью топологических колец и контрамодулей) в статье тоже есть.
Это самая важная моя работа, сделанная в 2018-19 учебном году, уже после переезда в Прагу.