Sunday, May 23rd, 2021

Time	Event
2:47p	Полупроизводная категория для неаффинного квазикомпактного плоского морфизма В развитие постинга https://posic.livejournal.com/2336338.html Полупроизводная категория -- это смесь производной категории по части переменных (условно, "образующих алгебру") и копроизводной категории по остальным ("образующим коалгебру"). Полупроизводная категория -- это центральное техническое, гомологическое понятие во всяких полубесконечных делах. В этом главное открытие моей книжки по полубесконечной гомологической алгебре. В контексте алгебраической геометрии, "переменные алгебры" означают пространство, сложно склеенное из маленьких аффинных схем -- скажем, инд-нетерову инд-схему или инд-нетеров инд-стэк. "Переменные коалгебры" означают пространство, просто склеенное из больших аффинных схем -- скажем, бесконечномерную квазикомпактную полуотделимую схему. Обычно конструкция полупроизводной категории подразумевает относительную ситуацию -- морфизм колец или пространств, "забывающий переменные алгебры". В этом случае понятно, как полупроизводная категория определяется. Бывают и более сложные конструкции, как например в мемуаре про слабо искривленные A-бесконечность алгебры. Оставляя пока в стороне D-модули, стоит обсудить определение полупроизводной категории в контексте полубесконечной алгебраической геометрии квазикогерентных пучков кручения, как в моем пишущемся сейчас (апрельском 2021 года) препринте. Самое ограничительное из условий, при которых там развивается теория -- это аффинность морфизма инд-схем π: Y → X. Хотелось бы заменить аффинность на квазикомпактность и полуотделимость (понимаемую в том смысле, что прообраз любой аффинной локально замкнутой подсхемы в Х -- квазикомпактная полуотделимая локально замкнутая подсхема в Y). Аффинность эта нужна для того, чтобы определять полупроизводную категорию в терминах функтора прямого образа квазикогерентных пучков кручения при морфизме инд-схем Y → X. Чтобы прямой образ был точным и строгим функтором, морфизм должен быть аффинным. На этой почве я еще в каком-то 2013 году размышлял о важности аффинных морфизмов в полубесконечной алгебраической геометрии. Теперь же мне кажется, что аффинность можно ослабить до квазикомпактности и полуотделимости, хотя и ценой существенного усложнения определения. Пусть π: Y → X -- квазикомпактный, полуотделимый, плоский морфизм инд-схем (при этом X предполагается инд-нетеровой инд-схемой). Что значит, что комплекс квазикогерентных пучков кручения N на Y полуацикличен относительно X? (Read Comments | Comment on this)
4:24p	Полупроизводная категория для неаффинного квазикомпактного плоского морфизма - 2 Прежде всего, пусть W → Z -- неаффинный плоский морфизм квазикомпактных полуотделимых схем. Что значит, что комплекс квазикогерентных пучков на W полуацикличен относительно Z? Это должно определяться как локальное и по Z, и по W свойство, и такая локальность должна доказываться. Попросту, покроем W аффинными открытыми подсхемами, ограничим комплекс на каждую из аффинных открытых подсхем покрытия, и возьмем прямой образ оттуда на Z. Вот этот прямой образ должен быть коацикличен как комплекс квазикогерентных пучков на Z. Надо проверять, что это свойство не зависит от выбора покрытия. Коацикличность комплекса на Z тоже должна быть локальным по Z условием. Пусть теперь Y → X -- неаффинный квазикомпактный полуотделимый морфизм схем (мы предполагаем, что инд-схема X инд-полуотделима и инд-нетерова). Что значит, что комплекс N квазикогерентных пучков кручения на Y полуацикличен относительно X ? Во-первых, видимо, при текущем уровне знаний имеет смысл пользоваться копроизводной категорией в смысле Беккера. Квазикогерентные пучки кручения на Y образуют категорию Гротендика, так что ее копроизводная категория в смысле Беккера хорошо себя ведет. Заменить комплекс N на комплекс инъективных квазикогерентных пучков J на Y, снабженный морфизмом N → J, конус которого коацикличен в смысле Беккера. Комплекс N называется полуацикличным, если комплекс J полуацикличен. Последнее мы сейчас определим. Пусть Z -- замнутая подсхема в X, и пусть W -- расслоенное произведение Z и Y над X. Рассмотрим !-ограничение комплекса пучков J на W. Этот комплекс квазикогерентных пучков на W должен быть полуацикличен относительно Z. Комплекс J инъективных квазикогерентных пучков кручения на Y называется полуацикличным относительно X, если это условие выполняется для всех замкнутых подсхем Z в X. За этим определением стоит такой несложный факт, который можно найти в апрельском препринте. Пусть K -- комплекс инъективных квазикогерентных пучков кручения на инд-нетеровой инд-схеме X. Предположим, что !-ограничение K на всякую замнутую подсхему Z в X стягиваемо как комплекс квазикогерентных пучков на Z. Тогда комплекс K стягиваем. (Read Comments | Comment on this)

<< Previous Day

2021/05/23 [Calendar]

Next Day >>