Лёня Посицельский's Journal
[Most Recent Entries]
[Calendar View]
Sunday, February 19th, 2023
| Time |
Event |
| 12:16a |
Семь лет назад: Какая тут может быть перспектива? https://posic.livejournal.com/1276688.htmlПривело это к тому, что я смог обеспечить в 2015-18 (и последующих) годах довольно плотный поток препринтов, а потом и рецензированных публикаций, пусть и в непрестижных изданиях, но в целом довольно высокого "по гамбургскому счету" уровня. Сохранив при этом приверженность своей прежней и традиционной тематике, продолжая ее развивать в новых условиях и не отвлекаясь ни на какую поденщину или иррелевантную конъюнкурщину. Дальше меня ждала позиция научного сотрудника Математического института в Праге, сперва на совсем маленькой зарплате и с трудными материальными условиями существования, но потом это исправилось. А перспектива эта оказалась основанной на том, что в мир разнообразнее, чем я предполагал по первым эмигрантским впечатлениям в 2016 году. В нем больше различий между странами, в сумме в разных странах больше экзотических ниш, в целом не очень престижных, но для кого-то (для меня) в первом приближении, на первых порах, подходящих, и т.д. В частности, оказалось, что по меркам не избалованной знаменитыми математиками Праги, и публикация в Journal of Pure and Applied Algebra -- тоже хлеб. А если подобных публикаций немало, то с этого можно жить. Даже если поначалу и бедновато. В общем и в целом, мораль из этой истории мне видится в том, что по-настоящему талантливый и трудолюбивый человек, всерьез занявший позицию "лучше умереть мне, нежели так жить", может найти немалое пространство для небезболезненного, но приемлемого компромисса, позволяющего жить и работать в соответствии со своими убеждениями. Просто нужно искать такой компромисс со Всевышним, а не с родственниками, знакомыми, коллегами, собеседниками и доброжелателями. Тогда и окажется, что мир не без добрых людей. | | 1:12a |
К предыдущему
Что говорить. Может быть, если я проживу в относительно добром здравии и работоспособном состоянии еще лет десять, я даже увижу какое-то подобие прижизненного признания, с какой-нибудь скромной премией и умеренной престижности лекцией. Может быть, мне даже повезет умереть, не дожив до беспомощной дряхлости, или хотя бы в не слишком ужасных условиях.
Разумеется, я работаю не ради этого. Я все-таки надеюсь изменить что-то существенное в заскорузлой, инерционной и сползающей все сильнее под уклон машине современной математики, и by extension, современной науки и современной цивилизации в целом. Совершить революцию, громко говоря, хотя бы и только в гомологической алгебре.
Именно поэтому я никому не советую заниматься наукой. Никого из сколько-нибудь сомневающихся не уговариваю, а всех только отговариваю.
Жуликам и халтурщикам не нужны мои советы. Чувствующий себя в силах и стремящийся совершить революцию не сомневается и не спрашивает, стоящее ли это занятие. А просто как способ честного, по-настоящему добросовестного заработка, при котором в обмен на преданность делу при наличии таланта ожидается разумно комфортная жизнь -- научная работа не имеет никакого смысла. По-моему. См. предыдущий постинг и в целом мой ЖЖ/Дримвидс/Фейсбук. | | 12:31p |
Плоская/проективная периодичность и периодичность кокручения, суммированные в одной фразе
Для точной категории плоских модулей над произвольным кольцом, неограниченная производная, копроизводная и контрапроизводная категории совпадают. (Подразумеваются копроизводная и контрапроизводная категории в смысле Беккера.)
В этой простой формуле -- ответ на вопрос, почему я вдруг так увлекся теоремами периодичности. Потому, что они на самом деле тесно связаны с тематикой экзотических производных категорий, включая копроизводные и контрапроизводные категории. И не только в контексте контрагерентных копучков. И не только для комплексов модулей.
***
Апропос: следует, кстати, признать частично устаревшим мое мнение о том, что, насколько известно, производные категории второго рода в смысле Беккера лучше себя ведут в тех контекстах, в которых они определены, в то время как производные категории второго рода в моем смысле определены в большей общности.
Конечно, для того, чтобы говорить о производных категориях второго рода в смысле Беккера, нужно наличие достаточного количества инъективных или проективных объектов, существование полуортогональных разложений или полных пар кокручения и т.д. Но для того, чтобы говорить о производных категориях второго рода в моем смысле, нужно существование бесконечных прямых сумм или произведений!
Да, конечно, наличие проективных объектов влечет точность бесконечных произведений, а наличие инъективных объектов влечет точность бесконечных прямых сумм. Но это имеет смысл при условии существования оных бесконечных сумм или произведений. Существование бесконечных сумм или произведений из наличия инъективных или проективных объектов никак не следует.
Например, в моей статье про антилокальность упоминаются "коацикличные комплексы контраприспособленных модулей" и "коацикличные комплексы модулей кокручения". Для коацикличности в моем смысле, это ересь -- ведь бесконечных прямых сумм в категории контраприспособленных модулей или модулей кокручения не существует. Но для коацикличности в смысле Беккера это вполне осмысленно -- инъективные объекты-то в обеих точных категориях есть, это просто обычные инъективные модули.
Ну, а другим примером является упомянутая в начале постинга контрапроизводная категория плоских модулей. Для контрапроизводной категории в моем смысле, эта конструкция определена только над когерентными кольцами -- иначе в категории плоских модулей нет бесконечных произведений. Но проективные объекты в категории плоских модулей-то есть в любом случае! Это просто обычные проективные модули.
И инъективные объекты в категории плоских модулей есть в любом случае. Это плоские модули кокручения. | | 10:22p |
Как я дошел до жизни такой - 1
По состоянию на 2007-09 годы, основным объектом моего интереса была ситуация с двумя группами переменных. Иногда с тремя группами переменных. Проще всего представить себе кольцо с подкольцом -- скажем, кольцо многочленов от двух групп переменных, в нем подкольцо многочленов от первой группы переменных, переменные из второй группы в подкольцо не входят.
Здесь "две группы переменных" -- это упрощающая метафора, конечно. Можно говорить о произвольном кольце с подкольцом, скажем, потребовав, чтобы объемлющее кольцо было проективным модулем над подкольцом с обеих сторон или что-то в этом роде. Но и это упрощение. На самом деле, меня интересовали "алгебры над коалгебрами" и "коалгебры над алгебрами" -- если продолжать пользоваться метафорой, то можно говорить о том, что это ассоциативные алгебраические структуры, в которых разделение "переменных" на две группы не выбрано произвольно, но изначально зашито в саму структуру, в ее аксиомы.
В этом контексте меня интересовали, в частности, модули (комодули, полумодули...), "проективные по части переменных в кольце" или "инъективные по части переменных в кольце". Скажем, проективные по первой группе переменных, а по второй -- произвольные. Или проективные по первой группе переменных, а по второй -- инъективные.
Это называется полубесконечная гомологическая алгебра. Называется она так потому, что там потом рассматриваются двусторонние производные функторы -- смеси левого производного функтора по одной группе переменных и правого производного функтора по другой. Это такие последовательности абелевых групп или векторных пространств (ко)гомологий, обычно бесконечномерных, занумерованные не натуральными, как в классических теориях гомологий и когомологий, а всеми целыми числами.
***
Одна из мыслей, крутившихся в моей голове все эти годы, состояла в том, что можно пользоваться и другой упрощающей метафорой -- говорить не о "модулях, проективных по части переменных", а вообще об "отчасти проективных модулях", модулях каких-то более широких классов, включающих проективные модули. Очевидным важнейшим примером таких обобщенно-проективных модулей мне виделись, конечно, плоские модули. Я думал о том, что распространяя полубесконечную деятельность на смежные области гомологической алгебры, я когда-нибудь в будущем буду что-то делать с плоскими модулями. | | 10:59p |
Как я дошел до жизни такой - 2
Прошли три года, и с апреля 2012 по февраль 2014 года основным объектом моего интереса стали контрагерентные копучки. Это двойственно-аналогичное понятие к квазикогерентным пучкам, которое на протяжении всего периода с весны 2009 по весну 2012 я пытался придумать, и в итоге придумал.
Обнаружилось при этом, что главное явление природы, ответственное за хорошие гомологические свойства категории квазикогерентных пучков, состоит в том, что кольцо функций на аффинной открытой подсхеме аффинной схемы является плоским модулем над кольцом функций на объемлющей аффинной схеме. А главной проблемой, ответственной за более сложное (по сравнению с квазикогерентными пучками) поведение контрагерентных копучков, оказалось то, что модуль этот -- плоский, да, но не проективный.
Сразу же, весной 2012, наметились как бы два рукава, два потока теории контрагерентных копучков. Один состоял в том, чтобы попытаться ограничить масштабы проблемы -- убедиться в том факте, что плоские модули, возникающие в контексте предыдущего абзаца, являются относительно несложно устроенными, в гомологическом смысле, плоскими модулями. Намного проще произвольных плоских модулей над коммутативными кольцами. Следить за этим фактом и пользоваться им.
Второй подход состоял в том, чтобы смириться с необходимостью, в конечном итоге, иметь дело с произвольными плоскими модулями вместо проективных. Первый подход стал называться "локально контраприспособленные контрагерентные копучки", а второй -- "контрагерентные копучки локально кокручения".
***
Вершиной первого подхода стала очень плоская гипотеза, сформулированная в начале 2014 года в Москве и доказанная летом 2017 в Праге и Хайфе. Вершиной второго подхода по состоянию на сегодняшний день представляются теоремы периодичности в гомологической алгебре. | | 11:23p |
Как я дошел до жизни такой - 3
Таким образом, плоские модули оказались как бы в перекрестье троп, ведущих вниз от двух главных технических вершин моей деятельности периода, предшествовавшего эмиграции -- полубесконечной гомологической алгебры и контрагерентных копучков. Неудивительно, что когда в 2015-16 годах настала пора спускаться из-под облаков ближе к населенным долинам, я стал писать про плоские модули.
И тогда два рукава теории контрагерентных копучков нашли свое продолжение в виде двух рукавов теории плоских модулей.
С одной стороны, можно подбирать какие-то классы "хороших плоских модулей", особенно просто устроенных и удобных для использования. В таком контексте, надо доказывать, что те или иные плоские модули, возникающие где-то каким-то образом -- или, при каких-то ограничительных предположениях, все плоские модули -- достаточно хороши.
Так я стал писать про сильно плоские модули, очень плоские модули, вполне плоские модули... про плоские эпиморфизмы колец счетного типа, про плоские эпиморфизмы колец относительной размерности Крулля ноль...
С другой стороны, можно пытаться продемонстрировать, что в сущности, даже совершенно произвольные плоские модули не так уж и далеко ушли от проективных. Да, вне узких рамок нетеровых коммутативных колец конечной размерности Крулля -- которые, конечно, типичный коммутативный алгебраист или алгебраический геометр считает, наоборот, широченными и включающими весь предмет -- вне этих рамок плоские модули не обязаны иметь конечную проективную размерность.
Но, говорит нам второй рукав теории, не в конечности гомологической размерности счастье. Надо пользоваться копроизводными и контрапроизводными категориями в смысле Беккера. Надо пользоваться теоремами периодичности.
В конце концов, что такое плоские модули? Это всего лишь прямые пределы проективных. Прямые пределы, говорит нам второй рукав теории -- не такая уж и сложная штука. Если знать, с какой стороны к ним подойти.
Так я стал писать про fp-проективную периодичность, про периодичность кокручения, про обобщенные теоремы периодичности, про плоскую/проективную периодичность... |
|