| 1:36p |
В Праге конференция "Higher structures"
Вот, что я действительно -- не скажу выучил, но узнал на этой конференции.
Когда-то в школьные годы, еще до того, как я летом перед выпускным классом переключился на гомологическую алгебру, меня очень занимали основы теории Ли. Как восстановить группу Ли по алгебре Ли? Утверждение, что для любой конечномерной вещественной алгебры Ли найдется соответствующая группа Ли, известно как "третья теорема Ли".
Тогда же, в школьные годы -- может быть, больше уже в выпускном классе -- меня занимала топология групп Ли. Как вычислить (скажем, целочисленные) когомологии (скажем, компактной) группы Ли, и так далее. Примерно с тех пор я, видимо, помню, что пространство вторых когомологий любой полупростой алгебры Ли зануляется, а пространство третьих когомологий любой простой алгебры Ли (над полем характеристики нуль) одномерно.
Тесно связанные с этим утверждения имеют место для маломерных гомотопических групп. Вторая гомотопическая группа любой связной группы Ли зануляется, а третья гомотопическая группа любой простой группы Ли изоморфна группе целых чисел (если я ничего не путаю).
Так вот, а из доклада вчера на конференции я узнал, что по мнению специалистов, третья теорема Ли и зануление второй гомотопической группы любой группы Ли -- тесно связанные между собой утверждения.
Как минимум, специалист говорит, что из третьей теоремы Ли следует, что вторая гомотопическая группа любой группы Ли, самое большее, конечна. Если бы вторая гомотопическая группа группы Ли G, помноженная тензорно на поле вещественных чисел, не занулялась, то у алгебры Ли группы G существовало бы центральное расширение, которое (как алгебру Ли) нельзя глобально проинтегрировать до группы Ли. Что-то такое.
На мой поверхностный слух гомологического алгебраиста -- звучит очень правдоподобно. Если фундаментальная группа является препятствием к единственности связной группы Ли с данной алгеброй Ли, то вторая гомотопическая группа должна быть препятствием к ее существованию.
Я всегда чуйствовал, что третья теорема Ли -- нетривиальное утверждение. В частности, потому, что пусть даже имея локальную группу Ли, совершенно неочевидно, как ее продолжить до глобальной. Теперь специалист это подтверждает. |