Лёня Посицельский's Journal
[Most Recent Entries]
[Calendar View]
Saturday, April 5th, 2025
| Time |
Event |
| 7:21a |
Статья про обобщенные теоремы периодичности вышла из печати https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S002240492500101Xhttps://www.sciencedirect.com/journal/journal-of-pure-and-applied-algebra/vol/229/issue/7https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2025.107962Вот share link, который мне прислали е-мейлом -- https://authors.elsevier.com/a/1ktfP_WcdmdI5 . Утверждается, что в течение 50 дней каждый желающий может скачать статью по этой ссылке. Я попробовал -- у меня скачалось. Это шестьдесят шестая рецензированная публикация в моей жизни, первая в 2025 году, и седьмая в этом журнале. Из шестнадцати препринтов за четырнадцать месяцев с декабря 2022 по январь 2024 года, теперь уже восемь окончательно вышли из печати и один опубликован электронно на сайте журнала. Еще один препринт за этот период принят к печати и два рассматриваются в редакциях. В том числе, из одиннадцати препринтов 2023 года, опубликована теперь ровно половина -- пять окончательно вышли из печати и один опубликован электронно на сайте журнала в ожидании окончательной публикации. Еще один препринт рассматривается в редакции. Также это пятая моя рецензированная публикация, непосредственно затрагивающая эту тему (теорем периодичности в гомологической алгебре). Предыдущие вышли из печати в 2024 году в Applied Categorical Structures, Journal of Homotopy and Related Structures, Algebras and Representation Theory, и (самая первая) в том же Journal of Pure and Applied Algebra. | | 4:52p |
Про математическую строгость, вынос комментов Сюжет: в университете Торонто первокурсникам читается курс MAT102H5 "Introduction to Mathematical Proofs". Учебник по этому курсу https://www.math.utoronto.ca/~alfonso/proofs/fuchs.pdf авторства Shay Fuchs начинается с вывода формулы для корней квадратного уравнения. Автор постинга https://yigal-s.livejournal.com/1782843.html прочел этот вывод в этом учебнике и нашел его не вполне строгим. Мои комменты: "1. Понимание того, что такое математическая строгость — это примерно линия отсечения, отличающая потенциальных математиков от совсем-не-математиков. Потенциальным математикам, если их интересует перспектива стать математиками, лучше было бы преодолевать этот рубеж в 6м классе школы, а не в университете. Большинство студентов Университета Торонто относятся (я уверен) к категории совсем-не-математиков. Научить их математической строгости невозможно. 2. Никого невозможно научить математической строгости на таком материале, как вывод формулы корней квадратного уравнения. Правильный математический сюжет для демонстрации того, как работают математические доказательства — это метод математической индукции, например. Доказать формулу для суммы кубов первых n натуральных чисел и т.п. 3. Если отсутствие корректного объяснения того, как знак плюс-минус перед корнем умножается (вернее, делится) на знак плюс или минус перед 2a и остается таким же знаком плюс-минус — это худшая проблема с данным учебником, то это очень хороший учебник. Последнее маловероятно. Скорее всего, учебник плох, но по совсем другим причинам. Одна из таких причин упомянута в пункте 2." *** "Ну просто, математическая строгость — это мощный метод познания истины. А не бесполезное занудство. Цель любого разумного преподавания понятия о математическом доказательстве в том, чтобы это продемонстрировать. На примере формулы корней квадратного уравнения, продемонстрировать это невозможно. Как метод познания истины, математическая строгость при выводе формулы корней квадратного уравнения дает не больше информации, чем какой-нибудь условный физический уровень строгости. Формула корней квадратного уравнения красива и нетривиальна, но более строгий ее вывод отличается от менее строгого только количеством занудства. Зачем это занудство нужно и что оно дает, студенту-первокурснику непонятно. Смысл упрекать учебник в том, что в нем недостаточно такого занудства — неясен мне. Другое дело, вы говорите студентам: сумма 1^3 + 2^3 + ... + n^3 равна квадрату суммы 1 + 2 + .... + n. Можно проверить это на примерах n = 2, 3, 4. Это убеждает нас в том, что формула верна для всех n, или остаются сомнения, и хотелось бы более убедительного доказательства? Если неполная индукция кажется кому-то убедительной, то можно подобрать контрпример (какой-нибудь другой пары последовательностей), когда она приводит к ошибочному выводу. Если все-таки признать, что неполной индукции недостаточно, то вот есть метод математической индукции, изготовляющий из нескольких простых выкладок строгое доказательство того, что 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + .... + n)^2 для всех натуральных n. Будь там хоть n = 100, хоть n = 1000. Хотя сумму кубов натуральных чисел от 1 до 1000 руками можно долго считать. (Собственно, с этого можно начать: посчитайте 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3. Утомительное немного упражнение, да? А как это сделать по уму? И т.д.) Для человека, любящего математику, математика — это увлекательная игра, и математическая строгость лежит в основе этой игры так же, как в основе игры в шахматы лежат правила, по которым ходят фигуры. Только математики считают, что правила игры в шахматы искусственны и произвольны, исторически случайны — а математическая строгость в природе вещей. Для типичного школьника и студента, математика, как она преподается в современных школах и вузах — бессмысленная, непонятная тягомотина и скукотища. Гораздо увлекательнее, вон, выйти на улицу помахать флагами за Хамас. Потому и происходит то, что происходит. Непонятная тягомотина с каждым следующим поколением разводняется, не становясь от этого более понятной, но становясь еще более бессмысленной." | | 9:36p |
Про математическую строгость - 2 https://yigal-s.livejournal.com/1782843.htmlЕще одна ветка из той же дискуссии, четыре коммента: "Полная индукция — это метод математического доказательства, позволяющий доказывать вещи, без доказательства неочевидные. Формула для корней квадратного уравнения вообще не требует доказательства как такового. Она не доказывается, а выводится. Это не математическое доказательство, а физический вывод формулы с помощью несложных выкладок, символьных преобразований." *** "Как я понимаю предмет обсуждения (и цель обсуждаемого курса/учебника) — речь идет исключительно о том, как научить студентов понятию о математическом доказательстве. Дальнейшие сложности находятся на более высоком уровне и к предмету обсуждения не относятся." *** > У меня подозрение, что одним понятие о математическом доказательстве дается даром, а другие принципиально не понимают, что это такое, сколько их не учить. "Понятие о математическом доказательстве может даваться даром при наличии подходящего учебного материала, на котором оно могло бы сформироваться. Условно говоря, если ребенок вообще не ходил в школу, а провел все детство, помогая родителям ловить рыбу — на мой скромный взгляд, в этом нет/не было бы ничего плохого, но понятие о математическом доказательстве у такого ребенка до поступления в университет не сформируется независимо от наличия врожденных способностей. Некоторые современные школы по качеству преподавания математики могут быть еще хуже, чем отсутствие школы. Школьная планиметрия является умеренно подходящим материалом для формирования понятия о математическом доказательстве (смысл ее преподавания в школах обычно так и объясняют). По моему личному опыту, метод математической индукции лучше. Я прочел в пятом или шестом (скорее, наверное, в пятом) классе несколько начальных разделов советской математической детской книжки "Метод математической индукции" и все понял. Мне кажется, это гораздо доходчивее, чем планиметрия. Нет, мне не нужны были на том этапе какие-то специальные "идейные рассуждения" и способы "обнаружения фактов". Факт, что в таблице умножения n^2 - 1 = (n+1)(n-1) я обнаружил еще в первом-втором классе совершенно самостоятельно, методом перебора в голове таблицы умножения. Когда папа показал мне, как доказать это, раскрыв скобки, я был совершенно счастлив. То же, позже, и с доказательством формул по индукции. Вообще, нельзя "научить думать" или "научить быть умным"; можно только предлагать пищу для ума. Если постановка задачи "научить математической строгости" не имеет смысла, то учебник, который мы здесь как бы обсуждаем, решает задачу, не имеющую смысла. Решая задачу, не имеющую смысла, хорошую работу сделать трудно. Поэтому вероятность, что учебник хорош, невелика (как я и отметил с самого начала). Может быть, университету Торонто нужен вводный курс математики для студентов, почти ничего не вынесших из школы, но в таком деле, действительно, главное — это постановка задачи. Поставив задачу "отделить неспособных к предмету Икс + безнадежно испорченных предшествующим из рук вон скверным преподаванием предмета Икс — от способных, но не обученных; и обучить последних" — можно было бы поставить с головы на ноги все современное университетское преподавание вообще. Да и школьное тоже. Но для этого надо признать, что категория "неспособных" существует. Вокруг желания социалистов отрицать этот базовый факт, невзирая на разрушительные последствия его отрицания, вся борьба в преподавательском деле и ведется. До тех пор, пока базовый факт отрицается, все учебники будут эволюционировать от плохого к еще худшему." *** > Кто будет отделять [способных от неспособных], когда и как? "Отделять должна сама жизнь. То есть, рынок. То есть, свободный выбор людей, всех участников этой ситуации. Когда отделять берется государство, то и получается, как обычно получается, когда государство берется что-то делать." |
|