"Хеломскiя Вѣдомости"'s Journal

Распухший ноль у математиков считается идеалом

Диалог двенадцатилетней дочки с папой-программистом

- (Дочка, отрываясь от длиннейшего вычисления с дробями, заданного на дом) Пап, а почему на ноль делить нельзя?
- (Папа, не отрываясь от компьютера, на котором он что-то отлаживает) Ничего не получится.
- Ну ты даже хуже, чем наша училка! Та просто говорит, нельзя и всё, а с училками не спорят. А ты-то откуда знаешь, что у меня не получится?
- (с неохотой отрываясь) А зачем это надо?
- Ну как это? на все числа делить можно, а на ноль нельзя. Чем он такой особенный?
- Ну ладно, давай по порядку. Что такое вообще число?
- Ну ты даёшь! Это же мы в первом классе проходили: 1,2,3,4 и так далее.
- Как далее? В сутках 86400 секунд, считая по числу в секунду, ты до завтра не досчитаешь до ста тысяч, за год - до 50 миллионов, за сто лет - до 5 миллиардов. А в газетах написали, что какой-то хмырь украл 10 миллиардов. Конец какой-то этому всему будет?
- Конечно, нет! Ведь нет же самого большого числа, всегда можно к предыдущему прибавить ещё единичку и увеличить его.
- Умница! До тебя над этим задумывались Эвклид и Архимед, и как им ни страшно было, пришлось им признать, что чисел не просто много, а бесконечно много. Названия для них трудно придумывать, это да, но эта проблема, к счастью, не так существенна. Так с чего мы начинали? почему на ноль делить нельзя? а что такое ноль? Ну, и чтоб два раза не вставать, а что, на два всегда делить можно? или на 22?
- Пап, ты жульничаешь, это же совсем другие числа!
- Какие?
- Дробные!
- А что это значит?
- Ну вот смотри, берём яблоко и делим его на четыре части ножом...
- Теперь ты жульничаешь. Если я разрежу яблоко на части, оно перестанет быть яблоком. Ну, и чтоб два раза не вставать, - а на три части ты ножом яблоко сможешь разрезать?
- А чем же оно станет?
- Набором яблочных долек. Согласись, ведь долька - не яблоко.Кроме того, мне привычней говорить не "набор", а "множество".
- Множество - это когда чего-то много?
- Не обязательно. Иногда удобно считать, что множество состоит из единственной дольки, и есть даже пустое множество, в котором нет ничего. Заметь занятное свойство: пустое множество яблочных долек, пустое множество кусков пиццы и пустое множество семиглавых грифонов, - одно и то же множество: мы их никак не можем отличить. Но это так, к слову.
- Так что, мы заменили яблоки дольками, назвали дольки дробями - и всё?
- Почти. Ты помнишь задачу, как разрезать яблоко на три части? Проще всего разрезать взмахами ножа яблоко на 6 маленьких долек, и выдать каждому вместо одной большой по две маленьких дольки.
- Постой, этак получается, что нам кроме просто дробей понадобятся маленькие дроби, потом совсем маленькие дроби, - и мы так никогда не доберёмся до конца?
- Слава богу, нет. Мы уже один раз решили для себя, что у нас обычных ("натуральных") чисел - бесконечное множество, и то, что мы не можем их все сразу написать, не должно нас останавливать. Давай добавим к этому множеству чисел-яблок множество (тоже бесконечное) дробей-долек. Мы примерно знаем, как они выглядят, осталось только выписать на бумажке перечень свойств, чтоб вместо яблок можно было подставить груши, а смысл происходящего не изменился.

Определение. Дроби - это множество "долек", содержащее в себе все (натуральные) числа-"яблоки" и такие, что каждая дробь после умножения на подходящее число ("едоков") становится целым числом ("яблок").

- И всё?
- Почти. "Всё не так просто", как говаривают в наших интернетах. Во-первых, мы вдруг заговорили об умножении. А что это такое?
- Пап, ты за своё. Второй класс, а я уже в шестом.
- Ну тогда скажи, что такое умножение.
- Это... это... это таблица такая, на обложке тетради напечатана. Семью восемь - пятьдесят шесть, трижды семь - двадцать один, я её всю наизусть помню.
- Умница, дочка. Если меня спросят, что такое съедобные вещи от несъедобных, я тоже скажу: на завтрак, обед и ужин мы едим только съедобные вещи.
- А чего ты от меня хочешь?
- Вернуться немного назад, к таким простым и понятным натуральным числам. Ты помнишь, с чего всё начиналось? Мы считали: 1,2,3,4, ... - т.е., договорились о том, как называть число, следующее за любым данным. Никакого сложения там сначала не было. А без сложения плохо: если у тебя в корзине 5 яблок (пересчитали, убедились), а у меня в рюкзаке 25 (на, считай!), то чтобы узнать, сколько яблок у нас с тобой вдвоём, по-хорошему надо было бы вывалить их все на стол и пересчитать заново. Не нужно было быть семи пядей во лбу, чтобы сообразить, что ответ не будет зависеть от того, в каком порядке (сначала твои, потом мои, или вперемешку) мы будем считать. Так мы приходим к понятию арифметической операции: есть два числа, мы что-то делаем с ними и получаем третье число. Назовём операцию "сложением" и будем её обозначать знаком "плюс". Какими свойствами этот плюс обладает?

Проще всего объяснить, что такое "плюсодин" (чёрт бы побрал эти социальные сети). "Плюсодин" к числу А означает число, следующее за А в процессе счёта. "Плюсодин" к тройке - четвёрка, "плюсодин" к семёрке называется восьмёркой. "Плюсодин" к ста - сто один. Не бог весть какая премудрость.

А что такое "плюсдва"? Это "плюсодин" и ещё раз "плюсодин". Что такое "плюстри"? Это "плюс два" и потом "плюсодин", потому что тройка следует за двойкой.
- ???
- Не смотри на меня такими круглыми глазами. Всё, что я хотел сказать, - это то, что операция сложения "спрятана" внутри процесса счёта. Я помню, как вы мучились с примерами на сложение в первом классе, - так вот, на самом деле вы учились не складывать, а запоминать имена чисел, сначала в первом десятке, потом в первой сотне. Сколько раз надо сказать "плюсодин", чтобы тройка стала семёркой? что будет, если пять раз сказать "плюсодин" двойке? А потом вы привыкли, позже вас научили складывать числа в столбик, и вам стало наплевать, откуда что взялось.
- Ты хочешь сказать, что и с умножением та же история?
- В точности. Если сложение - это многократно повторённое "плюсодин", то умножение - это многократно повторённое сложение. Что такое трижды семь? Это 7+7+7. Что такое семью три? это 3+3+3+3+3+3+3. Подумай, кстати, почему результат один и тот же.
- А откуда берутся правила действия с дробями? Я знаю, что за тройкой следует четвёрка, за семёркой - восьмёрка. А какая дробь следует за дробью 3/7? неужели 4/8=1/2? Что-то мне это не нравится...
- Правильно не нравится. Помнишь, как в анекдоте про математика и чайник задачу решают, сводя к уже решённой? Зачем нам понадобилась операция "плюсодин"? чтобы объяснить, что такое сложение и умножение натуральных чисел, которые мы обозначили буквой N. Значит, мы теперь можем пользоваться обозначениями N, +, * без опаски. Эти операции обладают простыми и полезыми свойствами, которые вам рассказывали в младших классах: какие бы ни были натуральные числа а, х,у, всегда х*у=у*х, х+у=у+х, х*1=х. Если мы хотим применить не одну операцию, а несколько, то там тоже есть полезные свойства: (х+у)+а=х+(у+а), (х*у)*а=х*(у*а) и (х+у)*а=(х*а)+(у*а). Все эти равенства суть маленькие теоремы, и могут быть строго доказаны, исходя из наших определений сложения и умножения. Но вы узнали про эти свойства гораздо раньше, чем услышали слово "теорема", поэтому если я начну сейчас их доказывать, тебе покажется, что я толку воду в ступе, - какой смысл доказывать очевидное? Поэтому оставим доказательства до класса девятого-десятого, когда у тебя появится навык логических рассуждений.

Ты, кстати, понимаешь, что означают скобки? Это всего-навсего указание на то, в какой последовательности выполняются действия. Вас учили, что умножение всегда "сильнее" сложения и если никаких скобок не стоит, то надо сначала выполнить все умножения, а только потом - сложения. Это как раз никакая не теорема, а просто условное соглашение, - типа правила очередности проезда на перекрёстке, где не стоит никаких знаков, или выбор, по какой стороне улицы ехать - по левой или по правой. Можно и так и так, главное, чтобы все следовали соглашению. А если ты не знаешь, где ты - в Англии или во Франции - можно расставить все скобки на всякий случай, это не будет ошибкой, что бы тебе твоя училка не говорила.
- Ну хорошо, а как быть с правилами действия с дробями? Откуда они берутся?
- По наследству. У нас есть целые числа с операциями (N,+,*), "яблоки". Мы расширяем множество "яблок" до множества "долек" D, на котором определены две операции с теми же свойствами, которые мы будем обозначать теми же значками. Что значит, что икс является "долькой"? Это значит, что после умножения на некоторое целое число q из него получится целое число p. Ты про уравнения слыхала? Так вот "дольки" - это решения всевозможных уравнений вида q*x=p. Если p случайно делится нацело на q, то "долька" на самом деле - целое число, поэтому N - подмножество в D.

Как перемножить две "дольки"? Пусть одна из них задаётся уравнением q*x=p, а другая - уравнением b*y=a. "Перемножим" уравнения, помножив друг на друга отдельно левые и отдельно правые части и приравняв результаты. Получится уравнение, которое можно записать в виде (q*b)*(x*y)=p*q. Это такое же "дольковое" уравнение для произведения x*y.

Кстати, уравнение, которому удовлетворяет каждая долька, никогда не бывает единственным: если q*x=p, то и (a*q)*x=a*p при любом натуральном числе a. Об этом надо помнить. Ты привыкла записывать "дольки" при помощи дробной черты, горизонтальной или косой (между ними нет никакой разницы). "Равенство" x=p/q означает (обозначает!), что "долька" x удовлетворяет уравнению q*x=p и ничего больше, а "правило сокращения" p/q=(a*p)/(a*q) есть не более, чем неединственность уравнения с заданным решением.
- Ну хорошо, а как со сложением дробей? Почему нельзя складывать числитель с числителем, а знаменатель со знаменателем?
- Со сложением чуть больше возни, но смысл примерно тот же. Есть уравнения для икса отдельно, для игрека отдельно. Как написать уравнение для их суммы? Это небольшой трюк. Пусть b*x=a, q*y=p. Умножим первое уравнение на q, второе - на b и сложим их. Получим (q*b)*x+(b*q)*y=(q*a)+(b*p). Осталось заметить, что левая часть раскладывается на множители (b*q)*(x+y). Иными словами, мы написали уравнение для суммы "долек" в виде B*(x+y)=A, где B=b*q, A=(a*q)+(b*p). Записать такую "дольку" с помощью дробной черты сможешь? Узнаешь знакомый ответ?
- Пап, мы уже час с тобой разговариваем, а на мой вопрос ты ответа так и не дал. Почему на ноль делить нельзя?
- А где ты, киса, тут ноль видишь? В нашем множестве долек любую дольку можно сложить или помножить на любую, а также любую дольку поделить на любую (мы это не доказали, но легко видеть, что это так, напиши сама формулу). Полное равноправие, всё справедливо. Мы раньше дробную черту использовали только для обозначения "долек", т.е., в числителе и в знаменателе разрешалось писать только натуральные числа. Но на самом деле можно использовать её и для обозначения деления дольки на дольку.
- А где же ноль? Он же есть, я знаю!
- А ноль и отрицательные числа - это по отдельному спецзаказу. Вот скажи, что такое деление, о котором мы столько говорили?
- Ну, это операция, обратная умножению: если a*b=c, то c/b=a.
- Ты сама захотела, чтобы можно было делить на что угодно. Карета подана. Чего ж тебе ещё, красавица?
- Хочу вычитать!
- Ну, теперь ты сама знаешь, что делать. Давай для простоты начнём снова с натуральных чисел N. Попробуй сама.
- Ну, вычитать - значит, по результату сложения и одному из слагаемых найти второе.
- Правильно. А уравнение слабо написать?
- Снова с иксом? да пожалуйста: x+b=a.
- А как насчёт решения?
- Ну, если b меньше a, то надо просто начать прибавлять к b по единичке (см. "плюсодин"), пока не получится a.
- А почему это когда-нибудь произойдёт?
- Ну, потому, что прибавляя по единичке, мы когда-нибудь получим ооо-чень большое число, больше, чем a. А значит, мы по дороге должны были получить в точности a.
- Ты не представляешь себе, сколько глубоких свойств натуральных чисел используется в этом рассуждении. Но тут уж придётся подождать до университета. А пока давай учиться вычитать.
- Ну, как в прошлый раз, придётся какую-нибудь черту использовать, чтобы обозначить решение уравнение. Раньше мы дробную черту использовали, давай в этот раз маленькую чёрточку использовать. Будем писать, что x=a-b, если икс удовлетворяет уравнению x+b=a.
- Отлично! А какими ещё свойствами обладает этот "минус"?
- Ну, поскольку к обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же натуральное число c, то (a+c)-(b+c)=a-b. Это ведь как сокращение дробей, правда?
- Правда.
- А теперь, значит, надо научиться решать уравнение x+b=a в остальных случаях, когда a меньше, чем b.
- Ты ничего не забыла?
- Ах да, ещё может быть, что a=b.
- А такое уравнение решается?
- В натуральных числах - нет.
- Дай я тебе подскажу. Давай обозначим решение уравнения x+b=b специальным значком. Ну, например, кружочком, будем писать О.
- Это и есть ноль?
- Да, но пока мы про него не всё поняли, давай всё-таки будем осторожны, чтоб не свалиться в логическое противоречие.
- Да какие тут логические противоречия?
- Ну например, если мы возьмём другое уравнение, x+a=a . Его решением будет тот же самый кружочек?
- Вроде да. Если, например, a меньше b, то мы можем взять уравнение x+a=a и прибавить к обеим частям число b-a. Получится уравнение x+b=b, а икс остался тем же самым.
- Умница. А как сформулировать свойства нашего кружочка без уравнений?
- Фигня вопрос. Если кружочек решает уравнение x+a=a при любом а, значит, всегда a+O=a.
- А теперь смотри, как можно быстро объяснить, почему "число" с такими свойствами в самом деле единственно. Предположим, было бы их два, О и о. Сложение с каждым из них не меняет ничего, значит. сумма О+о с одной стороны равна О, с другой - о. Значит, О=о. Теперь самое время обозначить, наконец, специальным значком 0 что число, назвать его нулём и перестать притворяться.
- Это тот самый нуль (или ноль? и так и так можно), который мы пишем в числе 100?
- Тот самый. Запись 100 означает число, в котором одна сотня, ноль десятков и ноль единиц. А запись 1020 означает... впрочем, это какой там класс, второй или уже третий?
- Так, а что с уравнением x+b=a, если а меньше, чем b?
- Вычти из обеих частей a. Что получится?
- Уравнение x+c=0, где c=b-a - какое-то "обычное", натуральное число.
- Давай воспользуемся ещё раз обозначением "чёрточка"-минус, и будем писать, что в этом случае x=0-c. До сих пор это выражение было бессмысленным, а сейчас мы добавили новый элемент к множеству натуральных чисел и нулю, чтобы сделать уравнение разрешимым. Если хочешь, можешь называть это "античислом", или "анти-с", если быть точнее. Почему? да потому, что если сложить с и "анти-с", то получится как раз нуль, всё исчезнет. Обозначение при помощи чёрточки, кстати, не единственное возможное. Например, можно писать обычные числа чёрным цветом, а античисла - красным, так некоторые банки делают: если у тебя на счету красное число долларов, значит, у тебя есть долг банку в этом размере, и чтобы его "погасить", нужно вложить на счёт такую же сумму, но чёрным ~~налом~~ цветом.

Получились у нас новые числа, - натурально чёрные, нуль и красные античисла. Все они вместе называются "целые числа" и обозначаются Z. Чем они хороши? да тем, что теперь вычитание возможно выполнить всегда, а не только тогда, когда вычитаемое меньше уменьшаемого. Иными словами, любое уравнение вида x+b=a разрешимо: если a больше b, то решением будет обычная разность c=b-a, если a=b, то ответ - 0, а если a меньше b, то ответом будет число "анти-(b-a)", 0-(b-a), - заметь, что здесь b-a - "чёрное" число.
- А что будет, когда мы начнём перемножать красные и чёрные числа?
- Замечательный вопрос. Помнишь ли ты, как были связаны сложение и умножение для натуральных чисел?
- Да, было такое правило раскрытия скобок, a*(b+c)=(a*b)+(a*c).
- Ну так давай им и будем пользоваться для всех чисел, и для красных, и для чёрных. Возьмём, например, равенство 1+0=1 и умножим его на любое натуральное число a. Получим равенство а+(а*0)=а. Что это значит? что прибавление а*0 не меняет числа а. Таким свойством (не менять чисел при сложении) обладает только нуль. Значит, какое бы ни было натуральное число a, a*0=0. А если бы а было "красным" античислом 0-b (b - чёрное)? Ну, давай проверим: по определению, a+b=0. Умножим на нуль, получим a*0+b*0=0*0, т.е., согласно предыдущему, a*0=0 и для красных чисел тоже. Повозившись так, можно проверить, что вообще вычитание целых чисел удовлетворяет тому же правилу a*(b-c)=(a*b)-(a*c), каких бы цветов не были числа. В частности, (0-1)*(0-1)=1, т.е., красная антиединица в квадрате даёт обычную единицу. Ты, конечно, узнаешь в этом тождестве правило "минус на минус даёт плюс". Просто сейчас мы поняли, откуда оно берётся.
- Ну ладно, мы вроде бы разобрались с тем, что такое нуль. Так почему всё-таки делить на ноль нельзя?
- Ещё минуточку терпения, дорогая. Мы с тобой сделали две важных вещи: отталкиваясь от натуральных чисел, которые изначально предназначались только для счёта, мы построили (да-да, именно так математики называют то, что мы делали) два других множества: "дольки" D, - положительные простые дроби, которые всегда можно перемножать и складывать между собой и всегда делить, но не всегда вычитать, и целые числа Z, которые всегда можно складывать, вычитать и перемножать, но не всегда делить.
- А можно ли объединить эти два построения и построить множество, в котором все четыре операции всегда выполняются?
- Почти. Давай возьмём все числа-дольки и добавим к ним "анти-дольки", - выражения вида 0-r, где r - положительная "долька" (можно для удобства антидольки в красный цвет красить). Полученное множество называется множеством рациональных чисел и обозначается Q. Легко проверить, что в таких чёрно-красных дольках всегда выполнимы операции сложения, вычитания и умножения так же, как в целых числах. А как насчёт деления? Если и делимое и делитель - чёрные, это возможно. Если же среди них есть красные дольки, то их всегда можно превратить в чёрные, умножив на (0-1) и воспользовавшись тем, что делить/умножать на (0-1) - то же самое, что менять знак ("цвет"), это всегда возможно.
- Так что, получается, что в рациональных числах всегда выполнимы все четыре арифметические операции?
- Почти. Мы не случайно не покрасили нуль ни в чёрный, ни в красный цвета. С ним надо обращаться отдельно, в частности, отдельно надо учиться делить ноль на другие числа, другие числа на ноль и ноль делить на ноль.
- Так я ж с этим вопросом к тебе с самого начала пришла!
- Да, но зато ты теперь понимаешь, что вопрос этот совершенно не случайный, а очень даже принципиальный: даже если бы ты и не хотела, он сам бы вылез. Проще всего делить ноль на неноль: это означает решить уравнение x*a=0. Помножим на 1/а: получим x=0. С двумя другими задачами есть проблема. Уравнение 0*x=1, как мы знаем, неразрешимо, потому что 0*a=0 при любом рациональном а. И наоборот, уравнение 0*x=0 имеет слишком много решений, - любое число удовлетворяет этому уравнению, а мы хотим, чтобы любая операция имела бы единственный результат.
- Пап, мы тут с тобой уже не первый час упражняемся в том, что добавляем к известным числам ("строим") новые числа с тем, чтобы уравнения, которые раньше не имели решений, решились бы. Давай добавим ещё одно новое число, - решение уравнения 0*x=1, и все будем в шоколаде!
- Давай попробуем, в самом деле. Ты быстро убедишься, что за разрешимость такого уравнения придётся заплатить дорогую цену. Возьмём с потолка новый элемент, обозначим его Б ("бесконечность") и попробуем добавить к рациональным числам так, чтобы Б*0=1. Что получится?
- А что должно получиться?
- Ну, для начала мы должны понять, как этот новый элемент складывать/вычитать и делить/умножать на рациональные числа. Начнём со сложения. Напишем Б как дробь, Б=1/0, и сложим с дробью 1=1/1. По правилам сложения дробей, у нас получилась бы дробь (1*1+0*1)/(0*1), равная 1/0. Иными словами, Б+1 удовлетворяет тому же самому уравнению, что и Б. Если б мы настаивали на том, что Б - единственный такой элемент, пришлось бы согласиться с тем, что Б=Б+1. Но таких чисел нет, поскольку 0 и 1 - явно разные вещи. Впрочем, Б - не настоящее число...

Пойдём дальше. Перемножая уравнение для Б само на себя, получаем, что Б в квадрате равно Б. Не то чтоб это было невозможно, но всё равно подозрительно. А чему равно Б-Б? а Б+Б?
- Ну, и что вся эта белиберда означает?
- Очень просто. Если ты хочешь, чтобы тебе разрешили единицу разделить на ноль, то придётся отказаться от правил арифметики, к которым ты привыкла. Разрешивши делить на нуль, ты должна согласиться с тем, что правила сложения/вычитания придётся переписывать, и некоторые из этих действий всё равно окажутся невыполнимыми. Я уж не говорю о том, что придётся отдельно разбираться с отношением "больше-меньше", - где по отношению к рациональным числам находится твоё "число" Б.
- Так что, никак?
- Никак, если мы хотим, чтобы две операции + и * продолжали сохранять свои свойства такими, какими мы их знаем (математики называют такие числовые множества "полями"). Невозможность делить на ноль - фундаментальный запрет в любом поле.
- А кроме полей, бывают ещё какие-нибудь интересные множества, чтобы там настоящая бесконечность появлялась?
- Да. Только давай до завтра отложим этот разговор. Поздно уже. Бесконечно поздно.
- Спокойной ночи!

♣ Когда вы не сможете прочесть эту надпись здесь, вы сможете всегда её прочесть тут. Комментируйте где хотите, на Дриме уже таких осторожных комментаторов набралось.

А Оккам... да хрен с ним, с Оккамом!

Есть годовой план!

Диалог двенадцатилетней дочки с папой-программистом