"Хеломскiя Вѣдомости"'s Journal

Числителям на знаменатель

Проффесор прощается, но не уходит

Девица ускакала, но читатели-то ещё не все разбежались? Вот вам финальный монолог с загадками на выходные.

Какие числа при возведении в квадрат остаются равными самим себе? Ну хорошо, про 0 и 1 все сами сообразят. А другие есть? Ну давайте напишем уравнение: x^2=x, значит, x(x-1)=0, значит, вроде бы нет. А это ты видал? (© Буратино, не крыловский, а толстой) Вот вам ещё два числа: ...259918212890625 и ...740081787109376.

Не понимаете, что значит многоточие в начале? а что значит многоточие в конце записи 0.333333333.... или 3.1415926535... вы понимаете? Это значит, что есть правило (совсем простое в случае дроби 1/3, гораздо более сложное в случае числа π), по которому я могу выписать сколько угодно цифр на месте многоточия. Конечно, само многоточие никуда не денется при этом, оно всего лишь отодвинется, но и жизнь наша коротка, много ли нам этих цифр надо?

Так же точно и в наших двух примерах. Мы знаем, что ...5 в квадрате будет ...5, а ...6 в квадрате будет ...6. Если одной цифры мало, то следующее "приближение" будет ...25 и ...36 соответственно. Хотите три "значащие" цифры? ради бога: ...625 и ...376.

Почему так можно поступать неограниченно? Ну, небольшое упражнение. Представьте себе, что вы уже нашли число a_n из n цифр, такое, что a_n^2=...a_n. Чтобы найти "следующую" (точнее, предыдущую) цифру x, надо решить уравнение (x*10^(n+1)+a_n)^2=...xa_n. Поковыряйтесь с этим уравнением, которое нужно решить в однозначных натуральных числах x=0,...,9, но которое будет линейным по иксу. Почему оно разрешимо, сообразите?

Кто-нибудь, конечно, заворчит, - что, мол, это за числа такие, которые справа налево пишутся. А я вам вот чего скажу: такие числа, по большому-то счёту, более естественны для выполнения операций. Судите сами. Вот если нам нужно было бы, скажем, сложить 0.66666.... и 0.777777..., как бы надо было поступать? В школе учат, что надо выровнять две десятичные дроби по запятой и начать с самого правого разряда. Выровнять мы без проблемы выровняем, а самого правого разряда-то нет? Если мы обрежем, скажем, оставив первые сто цифр, то в сумме получится число 1.44....43, тройка будет на сотом месте, а остальные - четвёрки. А если бы обрезали на двухсотом разряде - тройка переместилась бы на двухсотое место, а остальные остались бы четвёрками. Ну, и скажите на милость, в "правильном" ответе тройка будет? и если да, то где, а если нет, то почему?

То ли дело, если бы мы складывали ...6666 и ...7777. Всё было бы кристалльно ясно: ответ равен ....4443. Тройка есть, и она никуда не денется, сколько бы следующих цифр мы не вычисляли. Всё дело в том, куда мы "переносим" лишнюю единичку. Справа налево переносить - легко и просто, если есть, откуда начинать.

То же самое с умножением: перемножить друг на друга ...6666 и ...7777 легко в том смысле, что последние цифры ответа мы узнаем сразу, и они никак не изменятся, сколько бы мы не дописывали шестёрок и семерок.

Если б дочка не убежала, я бы с учёным видом сказал ей, что разных "чисел", с которыми можно проделывать арифметические операции, бывает масса. А потом стал бы занудствовать.

Чем "левые" числа отличаются от привычных "правых", у которых многоточие справа? Один из возможных ответов таков: если произведение двух обычных чисел равно нулю, то непременно один из сомножителей равен нулю. А что с нашими "левыми числами"? таки есть проблемы. Как легко проверить прямым вычислением, 2*5=10, т.е., (...2)*(...5)=...0. Оказывается, как и в случае с возведением в квадрат, можно найти бесконечнозначные ненулевые "левые" числа так, чтобы их произведение было равно ....0000.

Но это обстоятельство в каком-то смысле случайно и связано с тем, что мы используем систему счисления с основанием 10. Основание системы счисления - не хрен собачий, удачный выбор сильно облегчает жизнь. Если бы мы пользовались двенадцатеричной системой счисления, то признаки делимости на 2,3,4, и 6 были бы предельно просты, - достаточно посмотреть на последнюю двенадцатеричную цифру числа. А если б мы прислушались к соседям-вавилонянам и стали пользоваться системой с основанием 60, то было бы ещё лучше. Десятка в этом случае - прямо скажем, не лучший выбор.

Но если бы вместо десятки мы бы выбрали простое число, - 2,3,5,7 - мы сильно проиграли бы в делении, зато уравнение x^2=x не имело бы "посторонних" решений, поскольку в соответствующих "левых" числах не было бы делителей нуля: если произведение двух "левых" чисел равно нулю, то одно из них непременно должно было бы быть равно нулю.

Ну что ещё вам рассказать на прощанье? "Левые" числа, записанные в системе счисления с простым основанием р называются "целыми р-адическими числами", и из них можно стандартным образом изготовить "дробные р-адические числа": у них появится р-ичная точка (запятая) и конечное число р-цифр справа от этой точки-запятой. Точно так же, как в случае с обычными "правыми" числами, на множестве р-адических чисел можно определить "расстояние" таким образом, что два числа, имеющих сто одинаковых цифр справа, будут близки в смысле этого расстояния. Если вы думаете, что после этого "р-адическую прямую" можно будет нарисовать, - вы сильно ошибаетесь (см. илл.) ;-)

А самым большим занудам - домашнее задание. Есть классический метод Ньютона искать решение уравнения f(x)=0 методом последовательных приближений (с помощью производной). Как этот метод связан с подбором цифр в решении уравнения x^2=x в 10-адическом мире? (напомним, в этом мире беспредела есть делители нуля!). Ну, и хороший повод подумать, как р-адические числа связаны с рядами Тейлора и Лорана, о которых мы раньше уже говорили.

Всем чмоки в этом чате, надеюсь, что этим стулом закрыл-таки себе гештальт. Но чёрт его знает, что с утра в голову взбредёт.

Впрочем, наверняка кто-нибудь пристанет с вопросом ~~почему нельзя делить на ноль~~ чему равен ноль в нулевой степени.

♣ Когда вы не сможете прочесть эту надпись здесь, вы сможете всегда её прочесть тут. Комментируйте где хотите, на Дриме уже таких осторожных комментаторов набралось.

А Оккам... да хрен с ним, с Оккамом!

Sperminator

Проффесор прощается, но не уходит