"Хеломскiя Вѣдомости"'s Journal

Беспредел

Зачем нужны пределы

Чтоб хоть в Йом Киппур никого не обидеть зря, давайте поговорим о математике. В частности, в стопиццотый раз вернёмся к теме того, что такое пределы и зачем они нужны.

Все те, кто ещё помнит своё детство, вспомнят (некоторые с тоской и ужасом), как им эту премудрость вкладывали в головы. Сначала были числовые последовательности, долгое и нудное "эпсилон-эн" определение предела, после чего в качестве примера следовали тривиальные схоластические выкладки, показывавшие, что предел последовательности 1/n равен нулю. Ничего более осмысленного и увлекательного в мире последовательностей не обнаруживается вплоть до "замечательного предела" последовательности (1+1/n)ⁿ, от которого все преподы почему-то писали кипятком, хотя вычислить его не могли.

Потом начиналась история с пределами функций, на бесконечности и в других разных точках, где было уже чуть более запутанное "эпсилон-дельта", но зато и движуха была уже чуть повеселее. Как правило, пределы сводились к тому, что нужно было ноль поделить на ноль (вариант: ноль умножить на бесконечность, бесконечность поделить на бесконечность, ...). Всё это не могло не производить ощущения бессмысленной игры, типа футбола, но в мешках, чтоб бегать и бить по мячу было неудобно.

Студенты редко осмеливаются спросить, зачем их учат каким-то конкретным вещам, но те, кто задавали вопрос насчёт пределов, обычно получали стандартный ответ: на следующей лекции нам это понадобится для того, чтобы объяснить, что такое касательная к графику и мгновенная скорость. Так оно и бывало, но у студентов не хватало обычно наглости спросить, - а зачем нам касательные и мгновенные скорости? А вот такой вопрос вполне мог поставить товарища лектора в неловкое положение.

Понятие касательной в математике появилось благодаря грекам. Они разобрались сначала с касательной к окружности (не биг дил, прямо скажем, пятикласснику по зубам), а потом - с касательной к коническим сечениям, которые оказались уже очень интересными. В частности, Архимед знал свойства касательной к параболе и законы отражения света в зеркале, что позволило ему во главе женского батальона сжечь римский флот, осаждавший Сиракузы (если только женщины из батальона ничего не приврали).

Засада в том, что для всего этого совершенно не надо было никаких пределов. Касательная к окружности определяется как перпендикуляр к радиусу в точке касания, а для эллипса требуется лишь немногим более сложное построение. Для тех, кто ничего не помнит про конические кривые, белым цветом: чтоб построить касательную к эллипсу (заданному фокусами и ещё одной точкой), надо сделать растяжение (аффинное преобразование), переводящее эллипс в окружность, - это делается при помощи пропорций. После этого надо построить касательную к окружности и вернуться обратно. А других кривых греки реально и не знали (а если и знали, то строили касательные к ним разными специальными трюками). Никакой задачи типа "построить касательную к графику произвольной функции" они никогда не решали, поскольку слов таких не знали.

В случае с мгновенной скоростью ситуация была чуть более сложной и греки чувствовали, что в этом месте не всё так просто (см. байку про стрелу Зенона). Поэтому когда в Новое время задачи небесной и земной механики потребовали к себе внимания, Новые Геометры вновь вернулись к размышлениям того, что же такое мгновенная скорость.

Их проблемы можно понять. Средняя скорость определяется, как пройденное телом расстояние, поделенное на затраченный для этого промежуток времени. Чтобы такое деление было осмысленно, надо, чтобы в знаменателе стояло не нулевое число, т.е., надо было наблюдать наше тело как минимум в два разных момента времени. Тем самым результат деления просто логически не мог быть мгновенной скоростью: к какому из двух мгновений его надо было бы приписать? А если оба момента времени совпадают, то, как проницательно заметил Зенон, у нас будет ноль в знаменателе, ноль в числителе и значит, никакого числа в ответе.

Лейбниц и Ньютон стали рыть тоннель под Ла-Маншем с двух сторон. Лейбниц пытался ввести в математику новые, доселе невиданные бесконечно малые числа. Чтобы определить, как с такими числами производить вычисления, он пошёл грешить против всех правил арифметики. Прибавление или вычитание таких чисел к обычным никак не меняло обычные числа, умножение обычного числа на бесконечно-малое (оно, кстати, одно такое, или их тоже много?) давало бы бесконечно-малое, а вот отношение двух бесконечно-малых вполне могло бы дать обычное число (ну, или обычное плюс бесконечно малое). Изнасиловав всю арифметику, Лейбниц сумел доказать что точка, движущаяся по прямой равноускоренно, x(t)=at²+bt+c, имеет в момент t мгновенную скорость v(t)=2at+b.

А вот Ньютон сдвинул парадигму нахрен, и вместо движущихся тел стал говорить про функции (которые он называл флюенты, кажется, первый в истории математики) и флюксии, их производные. Иными словами, он предложил обсуждать не набор значений x(t) в разные моменты времени t, a единый объект, - функцию времени. После такого сменовеханья "мгновенная скорость" из набора чисел v(t) тоже стала одной (новой) функцией времени. Функции бывают разные (помимо многочленов, Ньютон уже знал в общих чертах, что такое тригонометрические, экспоненциальные функции и логарифмы). Соответственно, для Ньютона вопрос о том, как определить мгновенную скорость в виде числа, принял совершенно иную форму - как вычислить флюксию по заданной флюенте (и наоборот, - почему бы нет?).

Ключевое вычисление Лейбница Ньютон, конечно, знал (как знал его, не называя вещи своими именами, ещё Архимед), более того, Ньютон знал производные всех степенных функций tⁿ и понимал, что переход от флюенты к флюксии - линейная операция (сумма переходит в сумму). Для того, чтобы "замкнуть картину", Ньютону нужно было разобраться с единственным вопросом, - что произойдёт с флюксиями, если перемножить две флюенты. Сегодня мы знаем ответ как "правило Лейбница"; ирония судьбы (если верить Арнольду) состоит в том, что сам Лейбниц долгое время считал, что флюксии будут тоже перемножаться, поскольку, при таком соглашении формулы получались проще и красивей, а на арифметику с её законами Лейбниц уже всё равно наплевал. Ньютон был ближе к жизни и сразу написал "правило Лейбница" правильно.

После этого Ньютон уже мог дифференцировать все многочлены и все рациональные функции. Не так много, скажете вы? А вот и нет. Ничтоже сумняшеся Ньютон распространил правила своего исчисления на все многочлены бесконечно большой степени, или степенные ряды, как сказали бы мы сегодня. Почему? да потому, что во времена Ньютона не знали ни одной функции-"флюенты", которая не представлялась бы степенным рядом, и все они, как сказали бы мы сегодня, оказывались сходящимися (расходящиеся ряды начнут вылезать в математике много позже). Поэтому Ньютон без доказательства использовал правильные методы. В частности, открыл свою знаменитую формулу для "бинома Ньютона" (1+x)ⁿ=1+nx + n(n-1)/2*x²+... Разумеется, для натуральных n она была известна и до него (скобки раскрывать и приводить подобные члены сумеет всякий); Ньютон написал этот бесконечный ряд для произвольных нецелых n.

Но вернёмся к основному вопросу, - почему так зудел вопрос о построении дифференциального исчисления, почему именно мгновенную скорость (в той или иной ипостаси) хотели вычислить и Ньютон, и Лейбниц. За Лейбница трудно сказать, может, его влекла чистая игра ума, он философ был больше, чем математик. А вот ход мыслей Ньютона восстановить задним числом кажется возможным.

Этот аутист и аспергер прекрасно знал труды Кеплера по астрономии и умел строить касательные к кеплеровым эллипсам, что позволило ему угадать законы движения небесных тел. Оказалось, что законы динамики описывались дифференциальными уравнениями: ma=F, где m - масса тела (точки), F - действующая на неё сила, а вот a=x''(t) - мгновенное ускорение, мгновенная скорость изменения мгновенной скорости. И этот закон должен выполняться в каждый момент времени t: если мы знаем положение x(t) и мгновенную скорость v(t)=x'(t) (на самом деле не нужна в случае гравитационных сил), то мы знаем и все силы, действующие на тело, и сумма всех сил должна абсолютно точно равняться произведению массы на ускорение. Никаких средних скоростей, никаких приближений, никаких "с точностью до эпсилон": идеальное равенство должно сохраняться во время всего движения.

Иными словами, наша нужда в понятии мгновенной скорости проистекает не столько из технического удобства (одно число вместо последовательности приближённых средних значений), а из фундаментального факта: законы механики написаны на языке дифференциального исчисления. Это не исключительная прерогатива законов механики: законы распространения волн, теплопереноса и даже уравнения теории относительности и квантовой механики написаны на языке дифференциальных уравнений (только вместо производных по одной переменной нужны частные производные по нескольким независимым переменным). Этот факт может быть завуалированным в какой-нибудь квантовой теории поля, и вообще есть много чего написать тут мелким шрифтом, но смысл от этого не меняется. Чтобы познать наш мир, необходимо уметь дифференцировать (как минимум).

Вообще роль Ньютона в этой истории поразительна. Один и тот же человек и открыл законы мироздания, и создал математический аппарат, позволяющий ими пользоваться. Это как если б в 20-м веке один и тот же человек открыл законы квантовой механики и разработал функциональный анализ в гильбертовых пространствах. Так просто не бывает (ближайшее приближение - наверное, фон Нейман).

Потом, конечно, набежали другие математики и стали зачищать стройплощадку от строительного мусора: Коши и Вейерштрасс построили аккуратную теорию пределов, заодно обнаружив совсем нигде не дифференцируемые функции. Для этого пришлось поставить под ружьё неисчислимые легионы новых (вещественных) чисел, абсолютное большинство которых, родившись в мозгу математиков, так и умрут безымянными, поскольку никогда никому не понадобятся (е и π - абсолютно уникальные исключения, ещё один сигнал космического разума, направленный нам и не до конца расшифрованный). Физики не особенно дожидались математиков с их тряпочками и метёлочками и рванулись вперёд, но в какой-то момент угодили в засаду расходящихся рядов и прочих бесконечностей. Впрочем, это уже будет другая история.

♣ Когда вы не сможете прочесть эту надпись здесь, вы сможете всегда её прочесть тут. Комментируйте где хотите, на Дриме уже таких осторожных комментаторов набралось.

А Оккам... да хрен с ним, с Оккамом!

Постное

Порнографическая карта недели

Зачем нужны пределы