los: studium

(Добавить комментарий)

	tiphareth 2013-06-28 13:04 (ссылка)
	потому и мертвое какбе, что не задают если будут задавать, оживится (Ответить)

	maniga 2013-06-28 15:58 (ссылка)
	а какие вопросы? (Ответить) (Ветвь дискуссии)

los
2013-06-28 20:29 (ссылка)

Идиотские.
Например, какую мощность должно иметь множество афинных подпространств R^n коразмерности не меньше 2, чтобы дополнение до него в R^n было не линейно-связным.
Я (вроде) доказал, что оно не менее (и не более, само собой), чем континуально (использовал не очень красивую конструкцию с проекциями).
Вот тут во второй задаче идёт речь о конечном объединении. То ли я вообще не прав, то ли есть более красивое доказательство для случая с конечным объединением.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	maniga 2013-06-28 22:35 (ссылка)
	так нет же противоречия. основная сложность --- счётный случай, я так понимаю. я что-то даже для n=2 не вижу, как. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

los
2013-06-29 00:12 (ссылка)

Противоречия нет, я же говорю, идиотский вопрос, мне просто кажется, что можно красивее доказать для конечного.
Я доказал сразу для счётного случая, вот как:

Утверждаю: чтобы дополнение в R^n до некоторого подмножества А было не линейно-связным, необходимо и достаточно, чтобы существовали две точки a,b из R^n такие, чтобы любой путь между ними пересекался с A (напрямую следует из определения линейной связности).
Далее, предположим, что такие точки a и b и такое множество A имеются. Рассмотрим афинное подпространство X коразмерности 1 в R^n, такое, что в R^n\X точки a и b лежат в разных компонентах линейной связности (R^n\X линейно двусвязно, понятно почему). Рассмотрим подмножество путей из а в b вида [a,x]U[x,b], где отрезки это отрезки прямых, а x - точка из X. Каждому такому пути, таким образом, взаимно однозначно соответствует точка из X. Рассмотрим отображение, переводящее все точки каждого пути в соответствующий х (интуитивно назову это "двусторонняя центральная проекция на X"). Для этого отображения легко доказать, что оно переводит афинное подпространство в афинное подпространство или его кусок, не повышая его размерности. Если R^n\A несвязно, то образ его отображения на X будет весь X. Но если A - счётное объединения подпространств размерности (n-2) в R^n, то получится, что X, имея размерность (n-1), представляется в виде счётного объединения афинных пространств меньшей размерности, чего быть не может.

Это доказательство мне не нравится, мне кажется, что для конечного количества оно красивее и проще.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	los 2013-06-29 00:19 (ссылка)
	>Если R^n\A несвязно, то образ его отображения образ A при вышеописанном отображении имеется ввиду. (Ответить) (Уровень выше)

maniga
2013-06-30 17:50 (ссылка)

а что значит "переводящее все точки каждого пути в соответствующий х"? какой соответствующий? центральная проекция из a или из b?

дальше, как мне показалось, в доказетельстве подразумевается утверждение "если две точки можно соединить путём, то можно соединить путём вида [a,x] \cup [x,b]". это неочевидно (не знаю, верно ли).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

los
2013-06-30 19:12 (ссылка)

Соответствующая пути точка x из Х есть точка, где путь пересекает Х.
У R^n\X есть две компоненты связности, точки a и b лежат в разных. Из каждой точки можно спроецировать на Х соответствующую компоненту связности и объединить проекции.
Не подразумевается, это неверно. Подразумевается, что если две точки можно соединить путём вида [a,x] \cup [x,b], то их можно соединить путём.
Короче: отображаем таким образом A на Х, видим, что образ А не всё Х, значит, А не "разрывает" всех путей, в смысле, что есть пути, которые не пересекаются с А и не "порвутся", если мы вырежем А.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

maniga
2013-06-30 19:54 (ссылка)

а, понял. ты вначале описываешь отображение из множества путей (из a в b) в X, потом предлагаешь применить его ко множеству путей вида [a,x] \cup [x,b], которые не пересекают A. ну а не более чем счётное множество A может пересекать только не более чем счётное количество путей, значит какие-то останутся и получим противоречие.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

los
2013-06-30 20:17 (ссылка)

Нет.
Множество A как множество точек более чем счётно вообще.
Каждой точке х из X я сопоставляю путь вида [a,x] \cup [x,b]. Такие пути попарно не пересекаются (кроме точек a и b), то есть, описанное отображение есть сюръекция. Про все остальные пути можно забыть, этих хватит.
Если все эти пути пересекают A, то образ А будет весь Х.
Но мы знаем, что при этом отображении афинное подпространство переходит в афинное подпространство не большей размерности (или два его куска). То есть, счетное объединение афинных подпространств коразмерности 2 отобразится в счётное объединение афинных подпространств коразмерности не выше двух (то есть, коразмерности не выше 1 в X), которое не может покрыть Х, то есть, не все пути пересекают А.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	maniga 2013-06-30 20:20 (ссылка)
	а, да-да-да, я просто думал про n=2 случай, где A просто произвольное множество, поэтому неточно выразился. (Ответить) (Уровень выше)