| |||
|
|
реконструкция поля II в Ярославле оказался интернет, поэтому пишу окончание истории. Мы находимся в структуре конечной размерности. Пусть есть абелева группа A и группа G, эффективно действующая на A такая, что A G-минимальна. Тогда существует определимое поле K, структура одномерного K-векторного пространства на A и вложение G в K^\times совместимое с действием K^\times на A. Для доказательства нам для начала надо найти бесконечную орбиту под действием G. Такая существует: найдётся конечное количество точек, у которых стабилизаторы пересекаются тривиально, на них бесконечная G действует эффективно, значит, хотя бы одна из этих точек должна лежать в бесконечной орбите. Назовём эту точку x. Теперь, чтобы применить зильберовскую теорему, про которую шла речь в предыдущем посте, и заключить, что подгруппа сгеднерированная Gx определима, надо доказать, что Gx \cup 0 неразложимо (не разбивается на конечное число подмножеств косетами подгрупп G). Это сразу видно, если мы докажем, что проверять достаточно для G-инвариантных подгрупп A (они все конечны по G-минимальности). По теореме Болдвина-Сакса, подробно о которой я говорить здесь не буду, пересечение определимого семейства подгрупп равно пересечению конечного их числа (здесь важно, что именно _семейство_ определимо, то есть есть определимое отображение H -> T, такое, что слои H_t --- группы). Пусть теперь H произвольная подгруппа A. Пересечение всех её образов под действием G есть пересечение конечного числа таких образов, значит, определимо и равно H', при этом G-инвариантно, значит Gx \cap 0 не может разбиваться H' на конечное число косетов, а значит и с помощью H не может разбиваться. Итак, мы применяем теорему и о indecomposables и заключаем, что генерируемая Gx \cup 0 подгруппа определима; она очевидно G-инвариатна, значит равна всему A, более того, обозначая X:=Gx \cap 0, A=XX. Таким образом A есть фактор свободного S(Z[G])-модуля (симметрическое произведение) причём любой элемент представим в виде (g,h) --- Z-коэффициенты все 0 или 1. Рассмотрим подкольцо R кольца эндоморфизмов A (как абелевой группы), порождённое G. R является фактором симметрического квадрата свободного модуля Z[G], причём элементы тензорного квадрата с коэффициентами >1 в отношениях. То есть End(A) кодируются G^2 фактор по некоторому определимому отношению эквивалентности ( (a,b) экивавалентно (c,d) <=> (a + b) 1 = (c + d) 1 в модуле <=> ax + bx = cx + dx в A), при этом сложение и умножение определимы. Кольцо R целостно. Действительно, не может быть нетривиальной точной последовательности R-модулей A \to A to A, так как образы и ядра элементов --- определимые G-инвариантные подмножества A и как следствие либо конечны, любо всё A. R --- целостное кольцо конечной размерности. Докажем, что у R нет нетривиальных идеалов. Действительно, любой идеал R это определимая подгруппа аддитивной группы и по условию обрыва убывающих цепей содержит минимальный (R "определимо артиново"). Тогда для любого ненулевого x и минимального определимого идеала I, x I = I. Значит x обратим. Так как R целостно, оно поле. Добавить комментарий: |
||||||||||||||