Lie-Kolchin по Пуазе Напишу ещё сегодня про теоретико-модельного Ли-Колчина, будет такая
краткая иллюстрация методов.
Теорема Ли-Колчина звучит так: у любой разрешимой линейной группы
есть вложение в GL_n такое, что она состоит из верхнетреугольных
матриц (сохраняет флаг).
Доказывается так: пусть разрешимая линейная группа действует на полном
многообразии. Тогда у действия есть неподвижная точка. Доказательство
индукцией по derived series. В абелевом случае например всё просто:
фактор по стабилизатору любой точки x действует эффективно (в этот
момент мы используем абелевость, надо чтобы стабилизатор был
нормален), значит есть свободное транзитивное действие его на
замкнутой --- следовательно полной --- орбите, в которой мы возмём x,
но связное афинное и при этом полное многообразие может быть
только точкой, значит x фиксируется всей группой. Теперь заметим, что
наша линейная группа действует на полное многообразие флагов.
Теперь как это доказывавет Пуаза. Все теперь предполагается определимым
по умолчанию; понятие "полное многообразие" тут смысла не имеет, поэтому
техника существенно другая. Пишу "размерность", подразумеваю ранг Морли,
либо размерность в смысле геометрии Зарисского.
( Read more... )