Lie-Kolchin по Пуазе
Напишу ещё сегодня про теоретико-модельного Ли-Колчина, будет такая
краткая иллюстрация методов.

Теорема Ли-Колчина звучит так: у любой разрешимой линейной группы
есть вложение в GL_n такое, что она состоит из верхнетреугольных
матриц (сохраняет флаг).

Доказывается так: пусть разрешимая линейная группа действует на полном
многообразии. Тогда у действия есть неподвижная точка. Доказательство
индукцией по derived series. В абелевом случае например всё просто:
фактор по стабилизатору любой точки x действует эффективно (в этот
момент мы используем абелевость, надо чтобы стабилизатор был
нормален), значит есть свободное транзитивное действие его на
замкнутой --- следовательно полной --- орбите, в которой мы возмём x,
но связное афинное и при этом полное многообразие может быть
только точкой, значит x фиксируется всей группой. Теперь заметим, что
наша линейная группа действует на полное многообразие флагов.

Теперь как это доказывавет Пуаза. Все теперь предполагается определимым
по умолчанию; понятие "полное многообразие" тут смысла не имеет, поэтому
техника существенно другая. Пишу "размерность", подразумеваю ранг Морли,
либо размерность в смысле геометрии Зарисского.


Сначала определение: пусть группа G действует на группе A, группа A
называется G-минимальной, если все G-инвариантные определимые
подгруппы A конечны.

Собственно доказательство держится на зильберовских результатах
о реконструкции поля, о них в деталях как-нибудь в другой раз,
формулировки же следующие:

I. Пусть бесконечная абелева группа конечной размерности G эффективно
действует на абелевой группе A, причём A --- G-минимальна. Тогда
существует поле K, структура K-векторного пространства на A, и
вложение G в K^\times уважающее действие на A.

II. Пусть бесконечная связная группа конечной размерности G действует
эффективно на группу A, и пусть есть абелева нормальная подгруппа H у
G и просто какая-нибудь H-инвариантная, H-минимальная подгруппа B у A,
причём HB порождает A. Тогда существует поле K, структура
K-векторного пространства на A и вложение G в GL(A) уважающее
действие на A, причём H лежит в K^\times \subset GL(A).

Теперь доказываем вспомогтельное утверждение:

(*) пусть G разрешимая связная группа конечной размерности,
которая эффективно действует на абелеву группу A. Тогда действие
[G,G] на любой G-минимальной подгруппе A тривиально.

Индукция по derived series, докажем для метuабелевых (расширение
абелевой на абелеву) групп, дальше будет понятно. Итак, пусть
подгруппа B G-минимальна. Используем II (для этого нужна абелевость
[G,G]!): на подгруппе A, порождённой [G,G]B, есть структура
K-векторного пространства, [G,G] действует скалярными умножениями,
причём эффективно. Так как B G-минимально, то [G,G] конечная подгруппа
K^\times, а так как [G,G] --- вслед за G --- связна, то она
тривиальна, то есть фиксирует B.

Теперь применим это для доказательства Ли-Колчина.

Нас интересует такая ситуация: связная разрешимая группа G,
определимая в K, действует на K^n, где K --- алгебраически замкнутое
поле. Пусть V какое-нибудь G-минимальное векторное подпространство
K^n, тогда [G,G] фиксирует V.

Если G действует тривиально, то V автоматически одномерно.

Если действие нетривиальное, то по I (G/[G,G] абелево!) существует
некоторое поле L и структура одномерного векторного L-пространства
на V. Добавляя параметры, можно получить и структуру поля на V,
то есть L есть конечное расширение K, но K алгебраически замкнуто,
то есть L=K.

Значит, V одномерно, то есть в нём есть вектор, являющийся собственным
для всех элементов G. Теперь индуктивно применяем аргумент к K^n/V, и
получаем флаг, который сохраняется G.

У вспомогательного утверждения (*) есть важное следствией. Архетипической
группой, в которой определимо поле, является афинная, полупрямое произведение
мультипликативной группы поля на аддитивную. Она разрешима ---
расширение абелевой группы на абелеву --- но не нильпотентна, так
как расширение не центральное.

Так вот, в любой разрешимой не нильпотентной группе G определимо
поле. Чтобы это показать, надо как-то обеспечить условия теоремы
I. Для этого поделим на объединение элементов upper central series G
(одно из определений нильпотентности группы это конечность ucs). Оно
определимо; в факторе на любой его абелевой подгруппе G нетривиально
действует сопряжениями (центр мы убили), выберем
какую-нибудь G-минимальную A. Теперь можно применять I для A и
эффективно действующей на ней абелевой G/[G,G] (эффективность следует
из (*)).