| 10:42a |
реконструкция поля II
в Ярославле оказался интернет, поэтому пишу окончание истории.
Мы находимся в структуре конечной размерности. Пусть есть абелева
группа A и группа G, эффективно действующая на A такая, что A
G-минимальна. Тогда существует определимое поле K, структура
одномерного K-векторного пространства на A и вложение G в K^\times
совместимое с действием K^\times на A.
Для доказательства нам для начала надо найти бесконечную орбиту под
действием G. Такая существует: найдётся конечное количество точек, у
которых стабилизаторы пересекаются тривиально, на них
бесконечная G действует эффективно, значит, хотя бы одна из этих точек
должна лежать в бесконечной орбите. Назовём эту точку x.
Теперь, чтобы применить зильберовскую теорему, про которую шла речь
в предыдущем посте, и заключить, что подгруппа сгеднерированная Gx
определима, надо доказать, что Gx \cup 0 неразложимо (не разбивается
на конечное число подмножеств косетами подгрупп G). Это сразу видно,
если мы докажем, что проверять достаточно для G-инвариантных подгрупп A
(они все конечны по G-минимальности). По теореме Болдвина-Сакса, подробно
о которой я говорить здесь не буду, пересечение определимого семейства подгрупп
равно пересечению конечного их числа (здесь важно, что именно
_семейство_ определимо, то есть есть определимое отображение H -> T,
такое, что слои H_t --- группы). Пусть теперь H произвольная подгруппа
A. Пересечение всех её образов под действием G есть пересечение
конечного числа таких образов, значит, определимо и равно H', при этом
G-инвариантно, значит Gx \cap 0 не может разбиваться H' на конечное
число косетов, а значит и с помощью H не может разбиваться.
Итак, мы применяем теорему и о indecomposables и заключаем, что
генерируемая Gx \cup 0 подгруппа определима; она очевидно
G-инвариатна, значит равна всему A, более того, обозначая X:=Gx \cap 0,
A=XX. Таким образом A есть фактор свободного S(Z[G])-модуля
(симметрическое произведение) причём любой элемент представим в виде
(g,h) --- Z-коэффициенты все 0 или 1. Рассмотрим подкольцо R кольца
эндоморфизмов A (как абелевой группы), порождённое G. R является фактором
симметрического квадрата свободного модуля Z[G], причём элементы
тензорного квадрата с коэффициентами >1 в отношениях. То есть End(A)
кодируются G^2 фактор по некоторому определимому отношению
эквивалентности ( (a,b) экивавалентно (c,d) <=> (a + b) 1 = (c + d) 1
в модуле <=> ax + bx = cx + dx в A), при этом сложение и умножение
определимы.
Кольцо R целостно. Действительно, не может быть нетривиальной точной
последовательности R-модулей A \to A to A, так как образы и ядра
элементов --- определимые G-инвариантные подмножества A и как следствие
либо конечны, любо всё A. R --- целостное кольцо конечной
размерности.
Докажем, что у R нет нетривиальных идеалов. Действительно, любой идеал
R это определимая подгруппа аддитивной группы и по условию обрыва
убывающих цепей содержит минимальный (R "определимо артиново"). Тогда
для любого ненулевого x и минимального определимого идеала I, x I =
I. Значит x обратим. Так как R целостно, оно поле. |