Рассмотрим произвольную прямую на С. Если все корни лежат по одну сторону от нее, то производная многочлена P(z) в ноль на прямой обратится не может (поскольку не ноль производная от arg P(z)). CQFD.

Приятная задача, спасибо.

Я доказывал так: пусть z - корень производной, тогда p'(z)/p(z)=0, отсюда можно получить выражение для z как выпуклую комбинацию корней p z₁...z_n: z=(z₁/|z-z₁|²+...+z_n/|z-z_n|²)/ (1/|z-z₁|²+...+1/|z-z_n|²)

Пусть многочлен p(z) = (z-z₁)^k₁*(z-z₂)^k₂*...*(z-z_n)^k_n. Его производная p'(z) имеет корни в тех же точках, что и p'(z)/p(z).

p'(z)/p(z) = k₁/(z-z₁) + k₂/(z-z₂) + ... + k_n/(z-z_n) = k₁*conj(z-z₁)/|z-z₁|² + ... = conj(z-z₁)/r₁ + ..., где r_k - некое вещественное число.

p'(z)/p(z) = 0 тогда и только тогда, когда (z-z₁)/r₁ + ... = 0 (возьмем комплексное сопряженное с обеих сторон).

Комплексное число суть модуль умноженный на аргумент. Если сумма нескольких комплексных чисел равна нолю - значит, взвешенная сумма их аргументов равна нолю. (z-z₁)/r₁ + ... не может равняться нолю, если z лежит по разную сторону прямой со всеми z_k.

Классная задачка!!!