Баба Яга. Как вас теперь называть? Монголо-татарская версия.
Татарская гипотеза возникновения Бабы Яги, пожалуй, самая простая.
Бабай Ага (Ага - уважительная приставка, Бабай - мужчина старшего возраста, строго говоря, скорее дедушка, но условно дядя).
Во время взимания дани по дворам сборщиками дани бесерменами (отсюда, кстати, русское "басурмане")руководил назначенный старший сборщик. Очевидно человек в годах с намётанным глазом и умением командовать. Вполне возможно, что его так уважительно и называли сами татары. Конечно, это был не какой-то конкретный старший, а старший вообще - имя нарицательное. Свой уважаемый "старший дядя" был в каждой "бригаде".

Возможно также, что старший "уважаемый дядя" это оккупационный администратор рангом выше, баскак - татарский наместник, которому сборщики-бесермены относили собранные подати. Тогда получалось ещё страшнее - про какого-то бабая, которому всё относят, и который всё себе забирает, все слышали (от тех же татар), но никто его не видел. Вот и думай, насколько страшно он выглядит.

Соответственно, кто бы не был наречён уважаемым бабаем, поскольку во время ига ходили по домам беззащитных жителей басурмане нередко, забирали много, а за неподчинение наказывали строго, матери пугали маленьких детей "старшим сборщиком", а попросту татарским злым дядей:

- Вот придёт Бабай Ага и заберёт тебя!

После монголо-татарского ига от бабая остались лишь воспоминания, как о чём-то смутно страшном, чем пугают детей, как раз в "сказках про серую бабайку" (бабаку, бабая). Но кто это такой, чётко объяснить было уже некому.
Со временем забылся контекст, потому из злого дядьки-бабая получилась и осталась в сказках не менеее злая, но гораздо более загадочная и отталкивающая баба Баба Яга.

Правда обязанности у неё остались те же, что и у старшего татарского басурмана.
ХВАТАТЬ, ЗАБИРАТЬ И УНОСИТЬ.

Очень возможно,что и на съедение...

Правда, версий и историй о происхождении бабы Яги довольно много. Вполне лингвистических и совсем народных. Может, и вы какую знаете...