неприводимость многочленов над Q
вот, кстати, не очень сложная, но приятная задачка.
известно, что есть неприводимые многочлены над Q любой степени. тому есть, например, два простых аргумента:

1) если целочисленный многочлен степени n со старшим коэффициентом 1 принимает в n целых точках значение 1, то он неприводим

2) многочлен xⁿ+2 неприводим по критерию Эйзенштейна.

вот еще один пример:
доказать, что многочлен xⁿ-x^n-1-x^n-2-...-1 неприводим над Q.

попробую про него рассказать забавное

UPD. разумеется, есть еще классический подсчет числа неприводимых степени k над F_p,
а если редукция неприводима, то и сам многочлен. но это уже, как бы, тяжелая артиллерия