posic's Journal

Относительные когомологии алгебр Ли
Загадочная штука — всегда хотел понять, что это такое, и так и не понимаю. Ключевую роль играет комплекс … → Ug⊗_Uh &Lambda²(g/h) → Ug⊗_Uh g/h → Ug⊗_Uh k, где g — алгебра Ли над полем k и h — ее подалгебра. Это резольвента g-модуля k, составленная из Ug-модулей, индуцированных с Uh-модулей; так что с ее помощью можно было бы вычислять когомологии в точной категории Ug-модулей с Uh-расщепимыми точными тройками, когда бы она была Uh-стягиваема. Однако, она таковой не является уже в случае конечномерной нильпотентной алгебры Ли g над полем конечной характеристики, как утверждается в работе человека по имени Mark Muzere (текст которой мне любезно раздобыли в коммьюнити

pdf@lj). Таким образом, когомологии g относительно h не есть, вообще говоря, когомологии Ug относительно Uh (в обычном смысле относительной гомологической алгебры).

Тем не менее, с помощью этого стандартного относительного комплекса g над h можно показать: (1) что функтор когомологий коалгебры Ли стирающий (т.е., является производным функтором функтора инвариантов) на категории комодулей над коалгеброй Ли, и (2) что комплекс комодулей над коалгеброй Ли коацикличен, если он коацикличен над факторкоалгеброй этой коалгебры Ли по конечномерному коидеалу (т.е., полупроизводная категория дискретных модулей над тейтовской алгеброй Ли не зависит от выбора компактной открытой подалгебры).

Update: и еще (2') комплекс конильпотентных комодулей над конильпотентной коалгеброй Ли коацикличен по отношению к абелевой категории конильпотентных комодулей, если он коацикличен по отношению к абелевой категории конильпотентных комодулей над факторкоалгеброй этой коалгебры Ли по конечномерному коидеалу.