Почему математические доказательства часто бывают непонятны? http://leblon.livejournal.com/66834.html?nc=3Мой ответ таков: в математике существует tradeoff между сложностью доказательств и сложностью определений. Чтобы дать ясные, прозрачные доказательства, часто бывает нужно ввести определения более высокого уровня абстракции. Последствия этого обстоятельства проявляются в двух формах.
Во-первых, для оригинальных математических работ, продвигающих передний край математического знания, проблема состоит в том, что определения, необходимые для получения понятных доказательств, просто еще не придуманы. Математик сталкивается с выбором между публикацией непонятного доказательства и отказом от немедленной публикации в пользу дальнейшей работы над предметом с целью нахождения проясняющих определений. Поскольку о математических работах традиционно судят в первую очередь по тому, что в них доказано, и поскольку придумать продуктивные определения, как правило, труднее, чем найти хоть какое-нибудь, пусть даже запутанное, доказательство, выбор зачастую делается в пользу публикации непонятных доказательств.
Во-вторых, авторы учебников и других текстов по уже достаточно хорошо понятым разделам математики сталкиваются с необходимостью выбора уровня абстракции для своего изложения. Если автор сам не владеет абстрактными определениями, или если он не предполагает способности ими овладеть за своими читателями, он может предпочесть такой уровень абстракции, на котором дать понятные доказательства невозможно. Парадоксальные последствия такого выбора состоят в том, что материалом не овладевают не только слабые студенты, но и сильные, хотя и те и другие, конечно, сдают все положенные экзамены.
Типичный пример: чтобы объяснить, почему определитель произведения матриц равен произведению определителей, нужно ввести понятие внешней алгебры, или, как минимум, кососимметричной полилинейной формы. Не существует понятного доказательства, не использующего этих определений, хотя какие-то непонятные или неполные доказательства, естественно, даются в стандартных курсах.