posic's Journal
[Most Recent Entries]
[Calendar View]
[Friends View]
Saturday, October 17th, 2009
| Time |
Event |
| 1:54a |
CDG-полуалгебры? Продолжая фантазировать -- http://posic.livejournal.com/308421.html?thread=1369029#t1369029 -- спросим себя: нет ли часом в природе понятия "CDG-полуалгебры" со следующими свойствами? 1. Частными случаями CDG-полуалгебр должны быть CDG-коалгебры и DG-алгебры (но, вероятно, не CDG-алгебры). 2. У CDG-полуалгебры должна быть подлежащая градуированная полуалгебра над градуированной коалгеброй. 3. У CDG-полуалгебры не должно быть подлежащей CDG-коалгебры! Точнее, можно предположить, что структуре CDG-полуалгебры может подлежать неоднозначно определенное дифференцирование на коалгебре, но элементы "кривизны" и "замены связности" для этого дифференцирования не должны существовать на уровне коалгебры. Они должны иметь смысл только на уровне полуалгебры в целом. 4. С тейтовской алгеброй Ли g с выбранной в ней компактной открытой подалгеброй h (плюс, может быть, центральным расширением g с помощью k с выбранным расщеплением над h) должно быть можно связать CDG-полуалгебру такого вида. Ее подлежащая градуированная полуалгебра над градуированной коалгеброй должна быть полуалгеброй полубесконечных внешних форм на g над внешней коалгеброй векторного пространства g/h. Изобретение определения со свойствами 1, 2, и не-3 вроде бы не представляет трудности, но нужно более общее понятие со свойством 3. A propos: вот как умно, оказывается, я поступил, отказавшись иметь дело с дифференциальными полуалгебрами в своем длинном тексте. Мы еще, может быть, и вовсе не знаем правильного определения дифференциальных полуалгебр. | | 2:49p |
| | 7:48p |
Сюжеты, по упущению не вошедшие в книжку про квадратичные алгебры
1. Нильпотентные квадратично-линейные алгебры, приспособленность к функтору адического пополнения по идеалу аугментации, равенство когомологий алгебры и ее адического пополнения.
2. Рост/rate гомологий конечно-порожденных неградуированных алгебр, несуществование конечно-порожденной кошулевой фильтрации на обертывающей алгебре положительной части Вирасоро/Каца-Муди и т.п.
3. (Ко)гомологии Хохшильда кошулевых алгебр, поведение при квадратичной двойственности (плюс то же для циклических гомологий и т.д.).
4. (маловажное) Подробное доказательство невозможности восстановления ряда Пуанкаре (от двух переменных) квадратичной алгебры по такому же ряду двойственной алгебры.
Сюжет про rate произведений Сегре и подалгебр Веронезе, кажется, все-таки вошел... (Записываю по памяти, в книгу я сейчас не заглядывал.) | | 11:03p |
Квадратично-линейные коалгебры
На кообертывающей коалгебре коалгебры Ли имеется естественная убывающая фильтрация, двойственная к Пуанкаре-Биркгофф-Виттовской возрастающей фильтрации на обертывающих алгебрах. С убывающими фильтрациями иметь дело сложно, тем более, если пространство не полно относительно такой фильтрации, как в данном случае. Для произвольной коалгебры Ли кообертывающая коалгебра -- так или иначе не очень хороший объект, но есть один случай, когда кообертывающие коалгебры хороши -- это случай конильпотентной кообертывающей коалгебры конильпотентной коалгебры Ли. Соответственно, с Пуанкаре-Биркгофф-Виттовской убывающей фильтрацией на конильпотентной кообертывающей коалгебре конильпотентной коалгебры Ли хотелось бы научиться работать.
Пополнять конильпотентную кообертывающую коалгебру едва ли было бы уместно, разумеется. Кажется, правильный подход состоит в том, чтобы снабдить кообертывающую коалгебру, наряду с убывающей Пуанкаре-Биркгофф-Виттовской фильтрацией, также и какой-нибудь возрастающей фильтрацией, так чтобы убывающая фильтрация была локально конечной относительно возрастающей. Можно надеяться, что это как-то решит проблему полноты.
В общем виде соответствующий формализм выглядит так. Пусть С -- коаугментированная коассоциативная коалгебра над полем k; снабдим ее "коаугментационной" возрастающей фильтрацией NmC = ker(C→C/k⊗m+1). Коалгебра C называется конильпотентной, если фильтрация N исчерпывающая. (Эта терминология не общепринята; понятие, о котором идет речь, переоткрывалось многими людьми, работавшими с коалгебрами, и каждый из них называл его каким-нибудь своим словом; часто говорят о "кополных" коалгебрах, но мне это совсем не нравится.)
Пусть V -- какая-то убывающая фильтрация на C; предположим, что С/V1C = k и присоединенная градуированная коалгебра grVC копорождена своей первой компонентой. Тогда пересечение VmC ∩ Nm-1C содержится в Vm+1C. Таким образом, если C конильпотентна, то ∩n VnC = 0 тогда и только тогда, когда VmC ∩ Nm-1C = 0 для любого m. То есть если пересечение компонент фильтрации V равно нулю, то она локально конечна относительно N в довольно сильном смысле.
Теперь напрашивается определение: квадратично-линейная кошулева коалгебра -- это конильпотентная коалгебра с убывающей фильтрацией V, такой что ∩n VnC = 0 и градуированная коалгебра grVC кошулева. Заметим, что никаких квадратично-линейно-скалярных кошулевых коалгебр, похоже, не существует (т.е., нет смысла их рассматривать). |
|