Неоднородные абсолютно кошулевы полуалгебры В то время как определение категории в правой стороне гипотетической неоднородной абсолютной квадратичной двойственности для полуалгебр остается
неизвестным, определение левой стороны можно дать, кажется.
Неоднородная абсолютно кошулева справа полуалгебра S над коалгеброй C -- это полуалгебра над коалгеброй, снабженная двумя фильтрациями F и V. Фильтрация F на S возрастающая, согласованная с тривиальной фильтрацией на C, т.е. F
-1S=F
-1C=0 и F
0C=C, и кроме того, F
0S=C. Фильтрация V на S тоже формально возрастающая, но занумерована целыми числами и согласована с фильтрацией V на C, занумерованной неположительными целыми числами, т.е. V
0C=C, и далее, С/V
-1C=k. Фильтрации F и V на S связаны вложением F
jS⊂V
jS. Это, впрочем, следует из гораздо более сильного условия: присоединенная биградуированная полуалгебра gr
F,VS над присоединенной градуированной коалгеброй gr
VC должна быть
правым сплетенным произведением отрицательно градуированной коалгебры gr
VC в градуировке i и какой-то положительно градуированной алгебры A в градуировке j. Здесь положительная градуировка j на gr
F,VS наследуется с индексов фильтрации F, а отрицательная градуировка i на gr
F,VS дается формулой i=n-j, где целочисленная градуировка n на gr
F,VS наследуется с индексов фильтрации V.
В дополнение к сказанному выше, коалгебра gr
VC и алгебра A должны быть кошулевыми, коалгебра С должна быть конильпотентной, и пересечение всех компонент фильтрации V на C и S должно быть равно нулю, ∩
n V
nC = 0 = ∩
n V
nS. Таким образом, в частности, коалгебра C должна быть
квадратично-линейной кошулевой коалгеброй относительно убывающей фильтрации V, определенной по правилу V
nC = V
-nC.
Так же, как и в случае квадратично-линейной коалгебры C, условие ∩
n V
nS = 0 эквивалентно некоторому свойству локальной конечности (в отрицательном направлении) фильтрации V на S относительно подходящей конильпотентной фильтрации. Тут требуется осторожность, поскольку это получается уже третья фильтрация, которую мы рассматриваем на S, и может встать проблема дистрибутивности. Тем не менее, следующий аргумент представляется корректным. Из условий на фильтрации V и F следует, что отображение левого кодействия V
nS/V
n-1S → V
nC ⊗ S/V
0S инъективно (это можно доказывать индукцией по номеру фильтрации F). Теперь определим конильпотентную фильтрацию на S, индуцированную левым кодействием C, с помощью правила, что N
mS есть полный прообраз N
mC⊗S при отображении левого кодействия S→C⊗S. Тогда V
-m-1S ∩ N
mS = 0 для всех m.