Полубесконечные когомологии и тейтовские когомологии Еще одно продолжение
http://posic.livejournal.com/332025.htmlВсе же некую аналогию между полубесконечными (ко)гомологиями алгебр Ли (именно алгебр Ли) и тейтовскими когомологиями можно провести, но видимо, она не очень существенна.
Пусть g -- тейтовская алгебра Ли с открытой пронильпотентной подалгеброй h, и пусть S -- соответствующая полуалгебра. Тогда если h бесконечномерна, то комплекс проективных полуконтрамодулей Ψ
S(R) (см. по ссылке) должен быть ацикличен (не то, чтобы я умел это доказывать, но по идее должно быть так; во всяком случае, это так, когда h бесконечномерна и абелева...) Полубесконечные гомологии полумодуля N вычисляет комплекс -- контратензорное произведение Ψ
S(R) и N, а полубесконечные когомологии полуконтрамодуля P -- комплекс полуконтрамодульных гомоморфизмов из Ψ
S(R) в P. То есть ацикличный комплекс Ψ
S(R) выступает в той же роли, в какой выступает ацикличная двусторонняя резольвента тривиального модуля в определении когомологий Тейта.
Разница в том, что категория полуконтрамодулей над S никоим образом не фробениусова и даже не горенштейнова. Комплекс Ψ
S(R) -- ацикличный, нестягиваемый комплекс проективных, но никак не инъективных объектов. В случае, когда пространство g/h конечномерно, комплекс Ψ
S(R) даже ограничен снизу; а полубесконечные (ко)гомологии при этом, хотя и не вполне "полубесконечны", но отнюдь не тривиальны. Все-таки комплекс Ψ
S(R) лучше мыслить себе как резольвенту (несуществующего) одномерного полуконтрамодуля на плюс бесконечности, а не модуля своих циклов в степени нуль.