Saturday, January 9th, 2010

Time	Event
9:46p	Стриктификация Пусть имеется тензорная категория, для простоты, без коммутативности, а только с ассоциативностью. Для еще большей простоты, можно предполагать, что это тензорная категория векторных пространств. Как заменить ее на эквивалентную тензорную категорию, в которой изоморфизм ассоциативности (U⊗V)⊗W ≅ U⊗(V⊗W) был бы тождественным отображением, т.е. имела бы место ассоциативность в форме не естественного изоморфизма, а просто равенства итерированных тензорных произведений? Первая мысль, приходящая в голову неподготовленному человеку, глядящему на эту задачу, состоит в том, что мы развели слишком много векторных пространств. Содержательной разницы между (U⊗V)⊗W и U⊗(V⊗W) нет; есть казуистическое различие, происходящее из теоретико-множественных конструкций тензорных произведений. Хотелось бы все это отождествить. Двигаясь в этом направлении, человек закономерным образом приходит к идее поотождествлять все векторные пространства одинаковых размерностей, и считает это решением задачи стриктификации. Это решение ошибочно. Построить ассоциативную тензорную категорию векторных пространств, содержащую по одному объекту каждой размерности, конечно, можно, но такая тензорная категория не может быть строгой. Почему -- объясняется в книжке "Категории для работающего математика" (конец параграфа 7.1). Чтобы стриктифицировать тензорную категорию, надо не уменьшить, а увеличить количество объектов в каждом классе изоморфизма. Например, объявить объектами тензорной категории StrictVect формальные тензорные произведения векторных пространств V1⊗…⊗Vn, где n пробегает неотрицательные целые числа (см. параграф 11.3 той же книжки). Эта конструкция стриктификации использует теорему когерентности, утверждающую, что все изоморфизмы между кратными тензорными произведениями, индуцированные изоморфизмом ассоциативности между тройными произведениями, образуют коммутативные диаграммы, если пятиугольная диаграмма коммутативна. (1 Comment | Comment on this)
10:04p	Прожито так много, а сделано так мало http://potap.livejournal.com/538127.html (3 Comments | Comment on this)
11:40p	Мечтая о контракогерентных пучках 0. С инд-нетеровой инд-схемой, определенной индуктивной системой замкнутых вложений схем, можно связать локально нетерову абелеву категорию Гротендика -- категорию квазикогерентных пучков кручения. Она определяется просто как прямой предел категорий квазикогерентных пучков на замкнутых подсхемах относительно функторов прямого образа при замкнутых вложениях. 1. Что можно связать с локально нетеровой абелевой категорией Гротендика? В диссертации Габриеля, параграфы IV.3-4, объясняется, что всякая локально конечная абелева категория Гротендика антиэквивалентна категории псевдокомпактных топологических модулей над псевдокомпактным топологическим кольцом. 2. Там же в замечании говорится что-то про обобщение этого на случай локально нетеровых категорий, с соответствующим ослаблением условия псевдокомпактности (т.е., конечности длины дискретных факторов) до условия артиновости дискретных факторов. Будем считать, что в обоих случаях речь идет о правых модулях. 3. Нельзя ли, наряду с этим, представить произвольную локально нетерову категорию Гротендика как категорию дискретных правых модулей над топологическим кольцом, в котором базу окрестностей нуля образуют правые идеалы, факторы по которым являются нетеровыми правыми модулями? 4. В контексте любой из ситуаций 1-3, нельзя ли как-нибудь установить, что топологическое кольцо определяется соответствующей категорией Гротендика почти однозначно, и в частности, исходной категорией Гротендика однозначно определяется абелева категория левых контрамодулей над этим топологическим кольцом? 5. Если пункты 3-4 проходят, это дает нам некое определение категории контракогерентных пучков над инд-нетеровой инд-схемой. В частности, просто для нетеровой схемы может получиться решение неразрешимой задачи. Дополнение: во всяком случае, если категории правых комодулей над двумя коалгебрами (над полем) эквивалентны, то эти коалгебры Морита-эквивалентны в самом сильном смысле, так что и категории левых комодулей и левых контрамодулей над этими двумя коалгебрами тоже эквивалентны. (22 Comments | Comment on this)

<< Previous Day

2010/01/09 [Calendar]

Next Day >>