| 1:26a |
K(π,1)-гипотеза с конечными коэффициентами в классической форме
1. Пусть (R,d) -- (ассоциативная, некоммутативная) DG-алгебра над Z/l, вычисляющая когомологии проконечной группы G с постоянными коэффициентами Z/l. Нас интересует градуированная DG-алгебра (A,d), компонента которой во внутренней градуировке n есть подкомплекс канонической фильтрации τ≤nR (определяемый правилами (τ≤nR)m = Rm для m < n, (τ≤nR)n = ker(dn: Rn → Rn+1) и (τ≤nR)m = 0 для m > n). Когда G есть абсолютная группа Галуа поля F, градуированные DG-модули над A есть такие как бы смешанные мотивы Тейта с Z/l-коэффициентами над F (объекты Z/l(n) соответствуют свободным DG-модулям).
2. Пусть (A,d) -- положительно внутренне градуированная DG-алгебра над полем k, снабженная центральным элементом t во внутренней градуировке 1 и когомологической градуировке 0, не делящим нуль в A, являющимся коциклом, но не кограницей. Пусть B = A/(t). Тогда обычная спектральная последовательность для Tor'ов при морфизме (DG-)алгебр A → B вырождается в длинную точную последовательность
TorBi-1(k,k)(1) → TorAi(k,k) → TorBi(k,k) → TorBi-2(k,k)(1),
где гомологическая градуировка i на Tor возникает как разность собственной (положительной) гомологической градуировки и когомологической градуировки, зашитой в A и B. Связывающий гомоморфизм между двумя TorB в этой последовательности есть спаривание с некоторым классом ExtB2(k,k). Это класс оказывается равным нулю, поскольку связывающий гомоморфизм со значениями в компоненте внутренней градуировки 1 в TorB0(k,k)(1) (она же компонента внутренней градуировки ноль в TorB0(k,k)) равен нулю, поскольку эта компонента вкладывается в TorA1(k,k), переходя в одномерное подпространство, натянутое на класс элемента t.
Поэтому TorAi(k,k) = 0 для всех i≠0,1 тогда и только тогда, когда TorBi(k,k) = 0 для всех i≠0. В этом случае TorA1(k,k) является косвободным комодулем над TorA0(k,k) с одной кообразующей, соответствующей единственному с точностью до пропорциональности классу TorA1(k,k) во внутренней градуировке (весе) 1.
3. В левой части этой эквивалентности стоит условие K(π,1)-гипотезы в классической форме в том виде, который она принимает в случае конечных коэффициентов (не равных характеристике). Появление нетривиального Tor1 отражает наличие морфизмов между Z/l(n), или, если угодно, наличие кручения в соответствующем Tor0 с целыми коэффициентами. В правой части (в ситуации, когда F содержит корни l-й степени из 1) стоит условие кошулевости когомологий Галуа.
P.S. А вот в чем должна состоять K(π,1)-гипотеза с целыми коэффициентами? Видимо, там должен быть только Tor0 ненулевым. Это эквивалентно совокупности K(π,1)-гипотез с рациональными и конечными коэффициентами плюс утверждение об отсутствии бесконечно делимого кручения в Tor-1, кажется так.
P.P.S. Хорошо бы еще проверить эквивалентность глупых фильтраций и K(π,1)-гипотезы в вышеприведенной форме в случае Z/l-коэффициентов и поля F без корня l-й степени из единицы. |