| 4:46p |
Максимальная структура точной категории
Пусть А -- аддитивная категория, содержащая образы всех своих идемпотентных эндоморфизмов, ядра которых она содержит (слабо идемпотентно полная, semi-saturated, слабо карубиева, как там еще это называется). Тогда на A существует максимальная структура точной категории, т.е., класс точных троек, удовлетворяющий аксиомам точной категории и содержащий любой другой класс точных троек, удовлетворяющий этим аксиомам. (Есть также минимальная структура точной категории, в которой точны только расщепимые тройки, но это очевидно.)
Точнее, надо взять любую стандартную аксиоматику точной категории и временно выбросить из нее аксиомы, что классы допустимых мономорфизмов и эпиморфизмов замкнуты относительно композиции. Назовем эти аксиомы Ex3 (это не стандартное обозначение, но я им пользуюсь). Оставшиеся аксиомы будут обладать тем свойством, что объединение любых двух классов точных троек, удовлетворяющих этим аксиомам, также очевидным образом им удовлетворяет. Поэтому очевидным образом существует максимальный класс точных троек, удовлетворяющий всем аксиомам точной категории, кроме, может быть, Ex3. Можно проверить, что этот класс троек удовлетворяет и Ex3 тоже.
Максимальную структуру точной категории следует отличать от квази-абелевой структуры точной категории, которая существует при гораздо более ограничительных условиях. Аддитивная категория называется квази-абелевой, если в ней все морфизмы имеют ядра и коядра и класс всех троек, в которых левый морфизм является ядром правого, а правый коядром левого (назовем это условие на тройку аксиомой Ex1) образует структуру точной категории. В общем случае, даже если в аддитивной категории все морфизмы имеют ядра и коядра, класс всех троек, удовлетворяющих Ex1, может не удовлетворять аксиоме Ex2, требующей, чтобы класс точных троек был замкнут относительно замены базы допустимого эпиморфизма и замены кобазы допустимого мономорфизма. Не все (ко)ядра остаются таковыми при замене (ко)базы.
Например, категория банаховых пространств квази-абелева, но категория всех полных топологических векторных пространств -- нет. Причина в том, что факторпространство полного твп по замкнутому подпространству может не быть полным. Даже категория полных твп с линейной топологией, скорее всего, не квази-абелева, по той же причине. Но на ней существует максимальная структура точной категории.
Что касается основного утверждения (про которое выше сказано "можно проверить"), то мне удалось восстановить его доказательство, придуманное впервые во второй половине 90-х годов. Надо бы его вписать в какой-нибудь текст, чтобы оно не пропало.
P.S. Вот набросок доказательства: надо воспользоваться двумя соображениями. Во-первых, в любой аддитивной категории композиция универсальных ядер является универсальным ядром (хотя композиция ядер ядром в общем случае не является). Во-вторых, пусть в аддитивной категории A имеется класс троек, удовлетворяющий Ex1-Ex2, и X → Y → Z -- допустимые мономорфизмы в смысле этого класса троек; тогда композиция X → Z имеет коядро C в А, причем прямая сумма морфизмов Z → C и Y → 0 является композицией допустимых эпиморфизмов. |