posic's Journal

Классическая K(π,1)-гипотеза с целыми коэффициентами
Продолжение http://posic.livejournal.com/427050.html и http://posic.livejournal.com/428077.html

Представим себе, что триангулированная категория мотивов Тейта с целыми коэффициентами над полем F эквивалентна категории внутренне градуированных DG-модулей над положительно внутренне градуированной DG-алгеброй A над целыми числами. Точнее, полной подкатегории в последней, порожденной объектами A(n). Будем предполагать, что компоненты DG-алгебры A являются плоскими Z-модулями.

Как я понимаю, в такой ситуации мотивы Тейта с коэффициентами в кольце k суть DG-модули над DG-алгебрoй k⊗_ZA.

Пусть DG-коалгебра C -- это приведенная бар-конструкция DG-алгебры A. Хотелось бы сказать, что

1. Глупые фильтрации на мотивах Тейта с целыми коэффициентами эквивалентны отсутствию у C когомологий в положительных когомологических градуировках;
2. Vanishing conjectures с рациональными коэффициентами эквивалентны отсутствию у Q⊗_ZC когомологий в отрицательных когомологических градуировках;
3. Известные результаты о мотивных когомологиях с конечными коэффициентами влекут отсутствие у Z/l⊗_ZC когомологий в когомологических градуировках, меньших минус единицы (в случае равных конечных характеристик поля F и коэффициентов, так даже и меньших нуля).

Согласно формуле универсальных коэффициентов, отсюда следует, что когомологии C должны быть сосредоточены в когомологической градуировке ноль. Однако, они не должны быть плоскими Z-модулями -- у них есть l-кручение для всех простых l, не равных характеристике F. Поэтому нельзя сказать, что C квазиизоморфна коалгебре своих нулевых когомологий (на последних вообще нет структуры коалгебры).