Sunday, July 4th, 2010

Time	Event
12:50p	Тейтовские мотивы над схемой, с конечными коэффициентами Вот хороший вопрос про мотивы с конечными коэффициентами: как описать в терминах этальной топологии схемы триангулированную категорию тейтовских мотивных пучков над ней с конечными коэффициентами (взаимно простыми с характеристиками полей вычетов точек схемы)? Задача явно в принципе разрешима, и ответ должен иметь вид некой глобализации известной конструкции мотивов Тейта над полем с конечными коэффициентами в терминах фильтрованных модулей над группой Галуа. Только глупых фильтраций в ситуации над схемой быть не должно, так что глобализованная конструкция должна выдавать не точную, а сразу триангулированную категорию. Может быть, правильный ответ такой: рассмотрим точную категорию фильтрованных этальных пучков над нашей схемой, i-й присоединенный фактор которых является тензорным произведением пучка, поднятого с сайта Зарисского схемы, на циклотомический пучок в тензорной степени i. Взять производную категорию этой точной категории, и в ней полную триангулированную подкатегорию, натянутую на объекты Тейта. P.S. Все это необычайно увлекательно, но совершенно непонятно. Например, что вообще делать с высказыванием, сформулированным в предыдущем абзаце? Оно включает как частный случай для схемы, равной спектру поля, гипотезу кошулевости милноровской K-теории по простому модулю/когомологий Галуа с циклотомическими коэффициентами, так что вряд ли его можно так легко доказать. Если выводить его из других гипотез, то из каких? Если строить функтор между этими двумя триангулированными категориями, то в какую сторону? Если проверять на примерах, то что является простыми примерами? Кривые над конечными полями, что ли? Или малые веса (в смысле, номера объектов Тейта), например, вес 1? 10.07.10. Update: Вадик В. объяснил, что гипотеза не может быть верна для негладких схем. (Comment on this)
1:34p	Мотивы Тейта с целыми коэффициентами и DG-коалгебры с неплоскими когомологиями Как объясняется здесь, триангулированная категория мотивов Тейта над полем F с целыми коэффициентами должна быть эквивалентна производной категории DG-комодулей над положительно внутренне градуированной DG-коалгеброй C, когомологии которой H(C) сосредоточены в когомологической градуировке 0, но не являются плоскими Z-модулями. Объекты Тейта Z(i) соответствуют при этой эквивалентности тривиальным DG-комодулям Z, помещенным в когомологическую градуировку 0 и внутреннюю градуировку -i. Как соотносятся DG-коалгебра С и ее когомологии? В общем случае, на неплоских когомологиях DG-коалгебры структуры коалгебры нет, т.к. отображение H(C)⊗H(C) → H(C⊗C) не является изоморфизмом и направление этой стрелки не позволяет определить коумножение на H(C). Именно это имелось в виду в последней фразе вышезалинкованного постинга. Однако, в случае, когда H(C) состредоточено в когомологической градуировке ноль, H(C)⊗H(C) изоморфно отображается на H0(C⊗C), и обратив этот изоморфизм, коассоциативное коумножение на H(C) можно определить. Эта ошибка перекочевала из жж-постинга в архивную версию статьи. Далее, DG-комодулю N над С, когомологии которого сосредоточены в когомологической градуировке 0 и являются конечно-порожденным проективным Z-модулем, можно сопоставить комодуль H0(N) над H0(C) с аналогичным свойством. Это точный функтор, но эквивалентностью точных категорий он не является. Достаточно рассмотреть случай, когда F -- алгебраическое замыкание конечного поля Fq. Тогда DG-коалгебра C квазиизоморфна DG-коалгебре с компонентами C0 = Z и C1 = (Z[q-1]→Q), и всеми остальными компонентами, равными нулю. Легко видеть, написав кобар-конструкцию, что Ext1C(Z,Z(i)) = Q/Z[q-1] для всех i>0, как и должно быть в мотивах над алгебраическим замыканием конечного поля; но Ext1H0(C)(Z,Z(i)) = 0 для i>1. Более того, класс квазиизоморфизма C среди DG-коалгебр, плоских над Z, невозможно восстановить по коумножению на H0(C), как легко видеть на примере DG-коалгебры c ненулевыми компонентами C1 и C2 и нулевыми Ci для i>2. Поэтому описывать мотивы Тейта с целыми коэффициентами надо в терминах такого класса квазиизоморфизма коалгебры C, а не коумножения на ее нулевых когомологиях. Current Mood: работа над ошибками (Comment on this)
2:48p	Лето, считай, только началось а я уже чувствую себя уставшим. Совершенно как год назад. Но я понял: не так трудно дописывать статью вообще, как трудно повторно ее дописывать после того, как она уже была один раз дописана. (2 Comments | Comment on this)

<< Previous Day

2010/07/04 [Calendar]

Next Day >>