Группы Галуа и крашеные косы Пытаясь зачем-то (для порядку, очевидно) вспомнить п.1 этого --
http://posic.livejournal.com/106904.htmlКажется, аргумент там был вот какого рода. Пусть K -- произвольное поле, содержащее
Q. Рассмотрим кольцо многочленов от бесконечного числа переменных
Q[x
a], где a пробегают все элементы K. Обратим в этом кольце все элементы x
a - x
b, где a≠b. Может быть, нужно еще добавить другой бесконечный набор переменных t
a, где a опять пробегают элементы K (но тут уже ничего не обращать). Обозначим получившееся кольцо через R. Имеется очевидный гомоморфизм колец R → K, переводящий x
a и t
a в a. Соответственно, имеется морфизм спектров в обратную сторону Spec K → Spec R. Почему-то мне казалось, что во всякое этальное накрытие Spec K отображается накрытие Spec K, индуцированное некоторым этальным накрытием Spec R.
Но почему? Загадка.
19.12.10 - Update. Я думаю, аргумент имелся в виду примерно такого рода. Пусть имеется конечное расширение Галуа L/K. Выберем в нем нормальный базис l
i, выберем любой набор попарно различных чисел k
i из K, и напишем унитальный многочлен от одной переменной, корнями которого являются суммы по всем i произведений k
il
σ(i), где σ пробегает все перестановки индексов i ∈ 1, ..., [L:K]. Этот многочлен не имеет кратных корней. Коэффициенты его можно рассматривать как многочлены от k
i и элементарных симметрических многочленов от l
i. Дальше предлагалось поднять k
i до x
ki, а элементарные симметрические многочлены от l
i до переменных t
a, соответствующих значениям этих многочленов как элементов из K.
Имелось в виду, что полученный многочлен над кольцом R определяет этальное накрытие его спектра. В общем случае это явно неверно (процедура подъема значений элементарных симметрических многочленов от l
i до независимых трансцендентных переменных слишком грубая и никуда не годится).